Question

Помогите, пожалуйста, с алгеброй...Нужно понятное и подробное решение.

Найдите асимптоты графиков функций.
$1)y = \frac{x {}^{2} + 4 }{2x}$

$2)y = \frac{x {}^{2} + 9 }{3x}$

​

Answer 1

1.

$y=\dfrac{x^2+4}{2x}$

Вертикальная асимптота: $\boxed{x=0}$, так как в этой точке функция не определена, а предел $\lim\limits_{x\to 0}} y=\lim\limits_{x\to 0}} \dfrac{x^2+4}{2x}=\dfrac{0^2+4}{2\cdot0}=\infty$.

Наклонная асимптота: задается уравнением $y=kx+b$. Найдем коэффициенты:

$k=\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{y(x)}{x} =\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{x^2+4}{2x^2} =\lim\limits_{x\to \infty}} \left(\dfrac{x^2}{2x^2} +\dfrac{4}{2x^2}\right) =$

$=\lim\limits_{x\to \infty}} \left(\dfrac{1}{2} +\dfrac{2}{x^2}\right) =\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{1}{2} +\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1}{2} +0=\dfrac{1}{2}$

$b=\lim\limits_{x\to \infty}} (y(x)-kx) =\lim\limits_{x\to \infty}}\left( \dfrac{x^2+4}{2x}-\dfrac{1}{2}x \right)=$

$=\lim\limits_{x\to \infty}}\left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{4}{2x}-\dfrac{x}{2} \right)=\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{4}{2x}=0$

Наклонная асимптота: $\boxed{y=\dfrac{1}{2} x}$

2.

$y=\dfrac{x^2+9}{3x}$

Вертикальная асимптота: $\boxed{x=0}$, так как в этой точке функция не определена, а предел $\lim\limits_{x\to 0}} y=\lim\limits_{x\to 0}} \dfrac{x^2+9}{3x}=\dfrac{0^2+9}{3\cdot0}=\infty$.

Наклонная асимптота: $y=kx+b$

$k=\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{y(x)}{x} =\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{x^2+9}{3x^2} =\lim\limits_{x\to \infty}} \left(\dfrac{x^2}{3x^2} +\dfrac{9}{3x^2}\right) =$

$=\lim\limits_{x\to \infty}} \left(\dfrac{1}{3} +\dfrac{3}{x^2}\right) =\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{1}{3} +\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{1}{3} +0=\dfrac{1}{3}$

$b=\lim\limits_{x\to \infty}} (y(x)-kx) =\lim\limits_{x\to \infty}}\left( \dfrac{x^2+9}{3x}-\dfrac{1}{3}x \right)=$

$=\lim\limits_{x\to \infty}}\left( \dfrac{x}{3}+\dfrac{9}{3x}-\dfrac{x}{3} \right)=\lim\limits_{x\to \infty}} \dfrac{9}{3x}=0$

Наклонная асимптота: $\boxed{y=\dfrac{1}{3} x}$