Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 20. Узнай, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим.

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}3a_2+a_4=20\\f(d)=a_3\cdot a_5\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}3\, (a_1+d)+(a_1+3d)=20\\f(d)=(a_1+2d)(a_1+4d)\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}4a_1+4d=20\\f(d)=(a_1+2d)(a_1+4d)\end{array}\right$

$4\cdot (a_1+d)=20\ \ \Rightarrow \ \ \ 4\cdot a_2=20\ \ ,\ \ \ a_2=5\\\\a_3=a_2+d=5+d\ \ ,\ \ \ a_5=a_2+3d=5+3d\\\\f(d)=(5+d)(5+3d)=25+20d+3d^2\\\\f'(d)=20+6d=0\ \ ,\ \ 6d=-20\ \ ,\ \ d=-\dfrac{10}{3}=-3\dfrac{1}{3}\\\\znaki\ f'(d):\ \ \ ---(-\frac{10}{3})+++\\\\{}\qquad \ \ \ f(d):\ \qquad \ \searrow \ \ (-\frac{10}{3})\ \ \nearrow \\\\\boxed {\ d_{min}=-\dfrac{10}{3}=-3\dfrac{1}{3}\ }$