Question

Как решить интеграл?

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{4x - 3} { {x}^{3} + 2 {x}^{2} + x} = \int\limits \frac{4x - 3}{x( {x}^{2} + 2x + 1) } = \int\limits \frac{4x - 3}{x {(x + 1)}^{2} }$

разложим дробь на простейшие с помощью неопределенных коэффициентов:

$\frac{4x - 3}{x {(x +1)}^{2} } = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{ {(x + 1)}^{2} } \\ 4x - 3 = A {(x + 1)}^{2} + Bx(x + 1) + Cx \\ 4x - 3 = A {x}^{2} + 2Ax + A + B {x}^{2} + Bx + Cx \\ \\ 0 = A+ B \\ 4 = 2A+ B+ C \\ - 3 = A \\ \\ A = - 3 \\ B = - A = 3 \\ C= 4 - 2A - B= 4 + 6 - 3 = 7$

Получаем:

$\int\limits \frac{( - 3)dx}{x} + \int\limits \frac{3dx}{x + 1} + \int\limits \frac{7dx}{ {(x + 1)}^{2} } = \\ = - 3 ln(x) + 3 ln(x + 1) + 7\int\limits {(x + 1)}^{ - 2} d(x + 1) = \\ = 3( ln(x + 1) - ln(x)) + 7 \times \frac{ {(x + 1)}^{ - 1} }{ - 1} + C = \\ = 3 ln( \frac{ x+ 1}{x} ) - \frac{7}{x + 1} + C$