Question

1. Незнайка написал два числа, не содержащие в записи нулей, и заменил
разные цифры разными буквами. Незнайка утверждает, что число
КРОКОДИЛЛЛ делится на 312, а число ГОРИЛЛА делится на 416. Знайка
сказал, что это невозможно. Докажите, что Незнайка ошибается.​

Answer 1

Разложим числа 312 и 416 на простые множители:
312 = 2•2•2•3•13
416 = 2•2•2•2•2•13
Мы обнаружили, что в разложении обоих чисел есть число 13.
Признак делимости на 13: число делится на 13, если на 13 делится число без его последней цифры (то есть цифры в разряде единиц) в сумме с умноженной на 4 последней цифрой (то есть цифрой в разряде единиц)
То есть если
КРОКОДИЛЛ + 4Л делится на 13
ГОРИЛЛ + 4А делится на 13
Тут трудно определить, делятся ли оба числа по признаку делимости на 13.
Но а разложении обоих чисел 312 и 416 есть числа 2 и 3.

Делимость на 3 рассматривать не будем, потому что по буквам невозможно определить, делится ли сумма цифр в составе заданных чисел на 3 или нет.

Рассмотрим двойки.
В том случае числа КРОКОДИЛЛЛ и ГОРИЛЛА должны быть чётеыми

Из двоек, содержащихся в разложении чисел 312 и 416, можно получить
2•2 = 4
2•2•2 = 8
2•2•2•2 = 16
2•2•2•2•2 = 32

Признак делимости на 4: если запись числа заканчивается двумя цифрами, образующими число, которое делится на 4; или если число заканчивается двумя нулями.
По условию числа не содержат нулей.
В слове КРОКОДИЛЛЛ последними цифрами, делящимися на 4, могут быть 44 и 88
Тогда в слове ГОРИЛЛА, учитывая, что Л не равно А, и Л может означать либо 4 либо 8, последними двумя цифрами могут быть 4 и 8 или 8 и 4.
Это так же не очень может нам помочь.

Признак делимости на 8: если запись числа заканчивается тремя цифрами, образующими число, которое делится на 8; или если число заканчивается тремя нулями.
По условию число не содержит нулей.
Слово КРОКОДИЛЛЛ заканчивается тремя одинаковыми числами. Если число КРОКОДИЛЛЛ делится на 8, то ЛЛЛ может означать только 888, поскольку ни 222, ни 444, ни 666 на 8 не делятся так, чтобы получилось целое число.

Значит, Л может означать только 8.

Тогда в слове ГОРИЛЛА рассмотрим число, образованное последними цифрами ЛЛА, то есть 88А
882, 884, 886, 880.
Из этих чисел на 8 делится только число 880. Но оно содержит 0, а это противоречит условию.

Так что Незнайка действительно ошибался.