Question

Помогите с этим:

4sin^2(x/2)-3=2sin(x/2)*cos(x/2)

Answer 1

в) 4sin^2(x/2)-3=2sin(x/2)*cos(x/2)

Замена: x/2 = t

4sin2 t - 3(sin2 t + cos2 t) = 2 · sin t · cos t

sin2 t - 3cos2 t - 2sin t · cos t = 0 | : cos2 t ≠0

Действительно, если cos t = 0 (т.е. и cos2 t =0), то sin2 t - 3*0- 2sin t · 0 = 0. Получаем sin2 t =0

Т.е. sin t =0. Но тогда не выполнится основное тригонометрическое тождество: sin2 t + cos2 t = 0+0=0≠1!

tg2 t - 3 - 2 tg t = 0

По т. обр т. Виета подберём корни (чтобы не делать еще одну замену):

tg2 t - 2 tg t - 3 = 0

(tg t + 1) (tg t - 3) = 0

tg t = -1 или tg t = 3

tg x/2 = -1 или tg x/2 = 3

x/2 = arctg (-1) + πk; k€Z

x/2 = arctg (3) + πk; k€Z



x/2 = -π/4 + πk; k€Z

x/2 = arctg (3) + πk; k€Z



x = -π/2 + 2πk; k€Z

x = 2 arctg 3 + 2πk; k€Z



Ответ:

x = -π/2 + 2πk; k€Z

x = 2 arctg 3 + 2πk; k€Z