Question

1)Дано: ∠A = ∠B, СО = 4, DO = 6, АО = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ, б) АС, BD: в) SAOC, SBOD.

2)В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK МК = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°.

3)Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК||АС, ВМ : AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

3)В трапеции ABCD (AD и ВС основание) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см2.

Answer 1

Объяснение:

Уточненное условие.

1) Дано: ∠A=∠B, CO=4, DO=6, AO=5.

Найти: OB,

AC:BD;

$S_{AOC}:S_{BOD}.$

Решение:

Рассмотрим ΔАСО и ΔОВD.

∠А=∠В (условие)

∠1=∠2 (вертикальные)

⇒ ΔАСО ~ ΔОВD (по двум углам)

Составим отношения сходственных сторон:

$\frac{CO}{OD}=\frac{AC}{BD}=\frac{AO}{OB}$

Найдем ОВ:

$\frac{4}{6}=\frac{5}{OB};\;\;\;OB=\frac{6*5}{4}=7,5$

OB=7,5 (ед)

Коэффициент подобия - отношения сходственных сторон.

$k=\frac{AC}{BD}=\frac{CO}{OD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

⇒ АС:BD=2:3

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

⇒ $S_{AOC}:S_{BOD}=k^2=\frac{4}{9}$

S(ΔAOC):S(ΔBOD)=4:9

2) Дано: ΔАВС и ΔMNK.

AB=4см; ВС=7см; АС=6см;

MK=8см; MN=12см; KN=14см.

∠А=80°; ∠В=60°.

Найти: углы ΔMNK.

Решение:

Рассмотрим ΔАВС и ΔMNK.

$\frac{AB}{MK}=\frac{BC}{NK}=\frac{AC}{MN} \\\\\frac{4}{8}=\frac{7}{14}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=k$

⇒ΔАВС ~ ΔMNK (три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника)

В подобных треугольниках против сходственных сторон лежат равные углы.

В ΔАВС: ∠С=180°-(∠А+∠В)=180°-140°=40°

⇒ в ΔMNK:

∠M=∠A=80°; ∠N=∠C=40°; ∠K=∠B=60°.

3) Дано: ΔАВС.

МК║АС; ВМ:АМ=1:4

$P_{ABC}=25 cm$

Найти: $P_{MBK}$

Решение:

Рассмотрим ΔАВС и ΔМВК.

∠В - общий

∠1=2 (соответственные при МК║АС и секущей ВС)

⇒ ΔАВС ~ ΔМВК (по двум углам)

Пусть ВМ=х, тогда АМ=4х ⇒ АВ=5х.

Найдем коэффициент пропорциональности:

$k=\frac{BM}{AB}=\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

$\frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} =k=\frac{1}{5} \\P_{MBK}=\frac{25*1}{5}=5(cm)$

Р(ΔМВК)=5 см

4) Дано: ABCD - трапеция

AD=12 см; ВС=4 см.

$S_{AOD}=45 cm^2$

Найти: $S_{BOC}$

Решение:

Рассмотрим ΔВОС и ΔAOD.

∠1=∠2 (вертикальные)

∠3=∠4 (накрест лежащие при ВС║АD и секущей ВD.

⇒ ΔВОС ~ ΔAOD (по двум углам)

Найдем коэффициент подобия:

$k=\frac{BC}{AD}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. ⇒

$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=k^2=\frac{1}{9}\\\frac{S_{BOC}}{45}=\frac{1}{9} \\S_{BOC}=\frac{45*1}{9}=5(cm^2)$

S(ΔBOC)=5 см²