Question

Дана функция u(M)=u(x,y,z) и точки M1,M2.Вычислить: 1)производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2)grad u(M1)​

Answer 1

Ответ:

$u(x,y,z)=x^{yz}\ \ , \ \ \ M_1(3,1,4)\ \ ,\ \ M_2(1,-1,-1)\\\\\vec{l}=\overline {M_1M_2}=(-2,-2,-5)\ \ ,\ \ |\overline{M_1M_2}|=\sqrt{4+4+25}=\sqrt{33}\\\\\vec{l^0}=\Big(-\dfrac{2}{\sqrt{33}}\ ;\ -\dfrac{2}{\sqrt{33}}\ ;\ -\dfrac{5}{\sqrt{33}}\Big)\\\\\\u'_{x}=yz\cdot x^{yz-1}\ \ ,\ \ u'_{x}(M_1)=4\cdot 3^3=108\\\\u'_{y}=x^{yz}\cdot lnx\cdot z\ \ ,\ \ \ u'_{y}(M_1)=3^{4}\cdot ln3\cdot 4=324\cdot ln3\\\\u'_{z}=x^{yz}\cdot lnx\cdot y\ \ ,\ \ \ u'_{z}(M_1)=3^4\cdot ln3\cdot 1=81\cdot ln3$

$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}=108\cdot \dfrac{-2}{\sqrt{33}}+324\cdot ln3\cdot \dfrac{-2}{\sqrt{33}}+81\cdot ln3\cdot \dfrac{-5}{\sqrt{33}}=\dfrac{-216-1053\cdot ln3}{\sqrt{33}}$

$\overline {grad\, u(M_1)}=\Big(\ 108\ ;\ 324\cdot ln3\ ;\ 81\cdot ln3\ \Big)$