Question

При восстановлении после травмы спортсмен Алексей пробегал каждый день на одно и то же число метров больше, чем в предыдущий день. На 4-й день он пробежал 1850 метров, а на 7-й 3200 метров. Сколько всего метров пробежал Алексей на 7 дней?

Answer 1

Ответ:

12950 метров

Пошаговое объяснение:

Задачу можно решить различными способами. Один из них с применением арифметической прогрессии.

По условию "Алексей пробегал каждый день на одно и то же число метров больше, чем в предыдущий день", откуда следует "Алексей пробегал каждый день на d метров больше, чем в предыдущий день" и d будет разностью арифметической прогрессии (aₓ), x∈N.

Дано: a₄ = 1850 и a₇ = 3200.

Нужно найти: S₇ - сумму первых 7 членов арифметической прогрессии (aₓ).

Общий член арифметической прогрессии (aₓ) вычисляется по формуле

aₓ = a₁ +(x-1)·d,

а сумму первых x членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Sₓ = (a₁ + aₓ)·x/2.

Так как у нас есть значение a₇, то остаётся найти a₁. Для этого воспользуемся формулой общего члена:

a₄ = 1850 ⇔ a₁ + 3·d = 1850 ⇔ 3·d = 1850-a₁,

a₇ = 3200  ⇔ a₁ + 6·d = 3200 ⇔ a₁ + 2·(1850-a₁) = 3200 ⇔

⇔ a₁ + 3700-2·a₁ - 3200 = 0 ⇔ a₁ = 500.

Тогда

S₇ = (500 + 3200)·7/2 = 3700·7/2 = 25900/2 = 12950 метров.

Answer 2

Ответ:

12950 метров.

Пошаговое объяснение:

Так как Алексей пробегал каждый день на одно и то же число метров больше, чем в предыдущий день, то числа образуют арифметическую прогрессию.

По условию четвертый член последовательности 1850 м, а седьмой член последовательности  3200 м.

Воспользуемся формулой n- го члена арифметической прогрессии.

$a{_n}= a{_1} +d\cdot(n-1)$

Составим и решим систему

$\left \{\begin{array}{l} a{_4}= 1850, \\ a{_7}=3200\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1}+3d= 1850, \\ a{_1}+6d=3200\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}+3d= 1850, \\ 3d=1350 \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}+1350= 1850, \\ d=1350:3 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}= 1850-1350, \\ d=450\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}= 500, \\ d=450\end{array} \right.$

Для того чтобы найти сколько метров пробежал Алексей за 7 дней , надо найти сумму семи первых членов арифметической прогрессии.

Воспользуемся формулой суммы n- первых членов арифметической прогрессии.

$S{_n}= \dfrac{2a{_1} +d\cdot (n-1)}{2} \cdot n ;\\\\S{_7}= \dfrac{2a{_1} +6d}{2} \cdot 7 = \dfrac{2(a{_1} +3d)}{2} \cdot 7 =(a{_1} +3d) \cdot 7;\\\\S{_7}= 1850 \cdot 7 =12 950$

И можно было не определять ни первый член последовательности, ни разность арифметической прогрессии.

Значит,  Алексей пробежит за 7 дней 12950 метров.