Question

Ребята, как сделать ети задания?​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Метод математической индукции состоит из 2ух шагов.

1)Утверждение P(n) справедливо при n=1. (База индукции)

2)Для ∀k∈N из справедливости P(k) следует справедливость P(k+1)(индуктивный переход)

[a]

$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}, \forall x\in N$

1 шаг: база индукции

Проверяем справедливость при n=1

1³+2³+...+n³=1

(1/4)*1²*(1+1)²=(1/4)*4=1

Верно

2 шаг: Индуктивный переход

Допустим равенство верно для n=k:

$1^3+2^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$

Докажем что формула равна и для n=k+1

(на месте k в прошлой формуле должно оказаться k+1)

$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3=\\=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4))}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$

Доказано

[b]

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\geq\frac{1}{2},\ \forall x\in N$

1 шаг: база индукции

Проверяем справедливость при n=1

$\frac{1}{1+1}\geq\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\geq\frac{1}{2}$

Верно

2 шаг: Индуктивный переход

Допустим равенство верно для n=k:

$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}\geq\frac{1}{2}$

Докажем что формула равна и для n=k+1:

$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}\geq \frac{1}{2}$

$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}+(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)})\geq \frac{1}{2}$

Выражение без скобок ≥1/2, выражение в скобках >0, значит выражение выполняется для k+1

Доказано