Question

Знатоки алгебры, нужна ваша помощь.
Задание на фото↕​

Answer 1

Первый замечательный предел:

$\lim\limits_{t\to 0}} \dfrac{\sin t}{t} =1$

1.

$\lim\limits_{x\to 0}} \dfrac{\sin 2x+\sin3x}{2x} =\lim\limits_{x\to 0}} \left(\dfrac{\sin 2x}{2x}+\dfrac{\sin3x}{2x}\right)=$

$=\lim\limits_{x\to 0}} \left(\dfrac{\sin 2x}{2x}+\dfrac{\sin3x}{\frac{2}{3}\cdot3x}\right)=\lim\limits_{x\to 0}} \left(\dfrac{\sin 2x}{2x}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}\right)=$

$=\lim\limits_{x\to 0}} \dfrac{\sin 2x}{2x}+\dfrac{3}{2}\cdot\lim\limits_{x\to 0}}\dfrac{\sin3x}{3x}=1+\dfrac{3}{2}\cdot1=2.5$

2.

$\lim\limits_{x\to 0}} \dfrac{\sin 9x-\sin4x}{5x} =\lim\limits_{x\to 0}} \left(\dfrac{\sin 9x}{5x}-\dfrac{\sin4x}{5x}\right)=$

$=\lim\limits_{x\to 0}} \left(\dfrac{\sin 9x}{\frac{5}{9}\cdot9x}-\dfrac{\sin4x}{\frac{5}{4}\cdot4x}\right)=\lim\limits_{x\to 0}} \left(\dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{\sin 9x}{9x}-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{\sin4x}{4x}\right)=$

$=\dfrac{9}{5}\cdot\lim\limits_{x\to 0}} \dfrac{\sin 9x}{9x}-\dfrac{4}{5}\cdot\lim\limits_{x\to 0}}\dfrac{\sin4x}{4x}=\dfrac{9}{5}\cdot1-\dfrac{4}{5}\cdot1=1$