Question

дан треугольник ABC. проведена средняядан треугольник ABC. проведена средняя линия MN. А и N, М и С соединены.и пересекаются в точке О. найти отношение площади треугольника МОN к площади ABC

Answer 1

Треугольник АВС, МН-средняя линия=1/2АС, ВТ-высота на АС, площадь АВС=1/2АС*ВТ, МН делит ВТ на две равные части ВК=КТ=1/2ВТ (точка К на МН)треугольник АОС подобен треугольнику МОН по двум равным углам (уголАОС=уголМОН как вертикальные, уголНАС=уголАНМ как внутренние разносторонние)в подобных треугольниках соответствующие отрезки пропорцианальны, ОК/ОТ=МН/ОТ, ОК/ОТ=1/2, 2ОК=ОТ, КТ=ОТ+ОК=2ОК+ОК=3ОК=1/2ВТ, ОК=1/6ВТ, площадь МОН=1/2*МН*ОК=1/2*1/2АС*1/6ВТ=1/24*АС*ВТ, площадьМОН/площадьАВС=1/24*АС*ВТ / 1/2*АС*ВТ=1/12  (ВТ не обязательно проходит через точку О, но высота трапецииАМНС все равно=1/2ВТ)

Answer 2

т.к. MN --- средняя линия, АВС и MBN подобны с коэффициентом подобия 2
S(ABC) = 4*S(MBN)  или S(MNB) = S(ABC) / 4
(площади подобных фигур относятся как квадраты коэфф.подобия)))
AMNC --- трапеция, АОС и MNO подобны с коэфф.подобия тоже 2
S(AOC) = 4*S(MNO)
для треугольника ABN --- MN будет медианой...
медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника, т.е. 
S(AMN) = S(MNB)
S(AMN) = S(AMO) + S(MNO) =>
S(AMO) = S(AMN) - S(MNO) = S(MNB) - S(MNO)
аналогично, для треугольника CMB --- MN будет медианой...
и S(СMN) = S(MNB)
S(СMN) = S(CNO) + S(MNO) => 
S(CNO) = S(CMN) - S(MNO) = S(MNB) - S(MNO)
------------------------------------------------------------------------
ABC = AOC + AMO + CNO + MNO + MNB
ABC = 4*MNO + MNB - MNO + MNB - MNO + MNO + MNB
ABC = 3*MNO + 3*MNB 
ABC = 3*MNO + 3*ABC / 4
ABC / 4 = 3*MNO
ABC = 12*MNO
MNO / ABC = 1 / 12