Question

Найти частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

Ответ:

$x(y' - y) = {e}^{x} \\ y' - y = \frac{ {e}^{x} }{x}$

Это ЛДУ

Замена:

$y = uv \\ y = u'v + v'u$

$u'v + v'u - uv = \frac{ {e}^{x} }{x} \\ u'v + u(v' - v ) = \frac{ {e}^{x} }{x} \\ \\ 1)v' - v = 0 \\ \frac{dv}{dx} = v \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \: dx \\ ln(v) = x \\ v = {e}^{x} \\ \\ 2)u'v = \frac{ {e}^{x} }{x} \\ \frac{du}{x} \times {e}^{x} = \frac{ {e}^{x} }{x} \\ u = \int\limits \frac{dx}{x} \\ u = ln(x) + c \\ \\ y = uv = {e}^{x} ( ln(x) + C)$

общее решение

$y(1) = 0$

$0 = {e}^{1} ( ln(1) + C) \\ 0 = e \times C \\ C = 0$

$y = {e}^{x} ln( x )$

частное решение