Question

Найти решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным условиям: y'' + 4y = e^(-t) y(0)=0; y'(0)=0

Answer 1

Ответ:

1) ОЛДУ:

$y ''+ 4y = 0 \\ y = {e}^{kt} \\ {k}^{2} + 4 = 0 \\ {k}^{2} = - 4 \\ k1 = 2i \\ k2 = - 2i \\ y = C1 \sin(2t) + C2 \cos(2t)$

2) у с неопределенными коэффициентми:

$y = A{e}^{ - t} \\ y' = -A {e}^{ - t} \\ y ''=A {e}^{ - t}$

подставляем в НЛДУ:

$A {e}^{ - t} + 4A {e}^{ - t} = {e}^{ - t} \\ 5A = 1 \\ A = \frac{1}{5}$

$y = \frac{1}{5} {e}^{ - t}$

$y = C1 \sin(2t) + C2 \cos(2t) + \frac{1}{5} {e}^{ - t}$

общее решение

$y(0) = 0, y'(0) = 0$

$y '= 2C1 \cos(2t) - 2C 2\sin(2t) - \frac{1}{5} {e}^{ - t}$

система:

$0 = 0 + C2 + \frac{1}{5} \\ 0 = 2C1 - \frac{1}{5} \\ \\ C 2 = - \frac{1}{5} \\ C = \frac{1}{10}$

$y = \frac{1}{10} \sin(2t) - \frac{1}{5} \cos(2t) + \frac{1}{5} {e}^{ - t} = \\ = \frac{1}{5} ( \frac{1}{2} \sin(2t) - \cos(2t) + {e}^{ - t} )$

частное решение