Question

SOS! HELP! Помогите пожалуйста с решением!!! 100 баллов!

Answer 1

Ответ:

1.9

$\int\limits ln(4 {x}^{2} + 1 ) dx$

по частям:

$u = ln(4 {x}^{2} + 1) \: \: \: \: \: \: \: du = \frac{1}{4 {x}^{2} + 1 } \times 8xdx \\ dv = dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: v = x$

$uv - \int\limits \: vdu = \\ = x ln(4 {x}^{2} + 1) - \int\limits \frac{8 {x}^{2} dx}{4 {x}^{2} + 1 } = \\ = x ln(4 {x}^{2} + 1) - 2\int\limits \frac{4 {x}^{2} dx}{4 {x}^{2} + 1} = \\ = x ln(4 {x}^{2} + 1 ) - 2\int\limits \frac{4 {x}^{2} + 1 - 1 }{4 {x}^{2} + 1} dx = \\ = x ln(4 {x}^{2} + 1) - 2(\int\limits \: dx -\int\limits \frac{dx}{ {(2x)}^{2} + {1}^{2} } = \\ = x ln(4 {x}^{2} + 1) - 2x + \int\limits\frac{d(2x)}{ {(2x)}^{2} + 1} = \\ = x ln(4 {x}^{2} + 1) - 2x + arctg(2x) + C$

3.9

$\int\limits \frac{ {x}^{3} }{(x - 1)(x + 2)(x + 1)} dx = \int\limits \frac{ {x}^{3}dx }{( {x}^{2} - 1)(x + 2) } = \\ = \int\limits \frac{ {x}^{3} }{ {x}^{3} - x + 2 {x}^{2} - 2} dx$

разделим числитель на знаменатель:

$\frac{ {x}^{3} }{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} = 1 - \frac{2 {x}^{2} - x - 2 }{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}$

Получаем 2 интеграла:

$\int\limits \: dx - \int\limits \frac{2 {x}^{2} - x - 2 }{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} dx$

Первый интеграл

$\int\limits \: dx = x + C$

Второй интеграл раскладываем на простейшие дроби:

$\frac{2 {x}^{2} - x - 2 }{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} \\ 2 {x}^{2} - x - 2 = A(x + 1)(x + 2) + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)(x + 1) \\ 2 {x}^{2} - x - 2 = A( {x}^{2} + x + 2x + 2) + B( {x}^{2} - x + 2x - 2) + C( {x}^{2} - 1) \\ 2 {x}^{2} - x - 2 = A {x}^{2} + 3Ax + 2A + B{x}^{2} + Bx - 2B + C {x}^{2} - C\\ \\ 2 = A + B+ C \\ - 1 = 3A+ B \\ - 2 = 2A- 2B - C\\ \\ B= - 1 - 3A \\ - 1 - 3A+ A + C = 2 \\ 2A + 2 + 6A - C = - 2 \\ \\ B = - 3 A- 1 \\ C= 3 + 2A \\ 8A - 3 - 2A= - 4 \\ \\ 6A = - 1 \\ A = - \frac{1}{6} \\ \\ C= 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{ 3} \\ B = - 1 + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

Получаем:

$\int\limits \frac{ - \frac{1}{6}dx }{x - 1} + \int\limits \frac{( - \frac{1}{2}) }{x + 1} dx + \int\limits \frac{ \frac{8}{3} }{x + 2} dx = \\ = - \frac{1}{6} \int\limits \frac{d(x - 1)}{x - 1} - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(x + 1)}{x + 1} + \frac{8}{3} \int\limits \frac{d(x + 2)}{x + 2} = \\ = - \frac{1}{6} ln(x - 1) - \frac{1}{2} ln(x + 1) + \frac{8}{3} ln(x + 2) + C$

Объединяем:

$= x - \frac{1}{6} ln(x - 1) - \frac{1}{2} ln(x + 1) + \frac{8}{3} ln(x + 2) + C$

2.9

$\int\limits \frac{arctgx + x}{ 1+ {x}^{2} } dx = \int\limits \frac{arctgx}{1 + {x}^{2} } dx +\int\limits \frac{x}{1 + {x}^{2} } dx = \\ = \int\limits \: arctgx \times d(arctgx) + \frac{1}{2}\int\limits \frac{2x}{1 + {x}^{2} } dx = \\ = \frac{ {arctg}^{2}x }{2} + \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } = \\ = \frac{ {arctg}^{2} x}{2} + ln( {x}^{2} + 1) + C$