Question

Sin (2x) - cos( x) =√3 *sinx
Решить тригонометрическое уравнение​

Answer 1

Ответ:

Решений нет! Возможно, вы неправильно переписали условие. Если бы перед синусом двойного угла стоял коэффициент два, уравнение решалось бы проще. С этим же условием решение куда сложнее. Но я всё равно приведу его.

Объяснение:

$sin2x=2sinxcosx$

$sinxcosx=\frac{\sqrt{3} }{2} sinx+\frac{1}{2}cosx$

Пусть $a=sinx, b=cosx$. Имеем систему:

$\left \{ {{ab=\frac{\sqrt{3} }{2}a+\frac{1}{2}b } \atop {a^2+b^2=1}} \right.$

Первое уравнение преобразуем:

$a(b-\frac{\sqrt{3} }{2})=\frac{1}{2} b\\a^2(b-\frac{\sqrt{3} }{2})^2=(\frac{1}{2} b)^2$

Из второго $a^2=1-b^2$. Подставим:

$(1-b^2)^2(b-\frac{\sqrt{3} }{2})^2=(\frac{1}{2} b)^2$

Раскрываем скобки и получаем:

$b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}=0$

$b=cosx, |b|\leq 1$

Видно, что $-1\leq b<0$ (при $0\leq b\leq 1$   $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}>0$).

Если $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}=0$, то $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)<0$. Учитывая, что $b<0$, приходим к следующему:

$b^3-\sqrt{3} b^2+\sqrt{3} >0$

Исследуем эту функцию. $f(b)=b^3-\sqrt{3} b^2+\sqrt{3}$.

$f'(b)=3b^2-2\sqrt{3}b$. $f'(b)=0$⇔$b=0$  или  $b=\frac{2}{\sqrt{3} }$. Следовательно, на множестве $[-1;0)$ функция возрастает. То есть наименьшее значение

$b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)$  достигается при $b$→$0-0$.

Пусть $b=-\varepsilon, \varepsilon>0$.

$b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}=0$

$\varepsilon^4+\sqrt{3}\varepsilon^3-\sqrt{3}\varepsilon +\frac{3}{4}=0$

Раз уж эпсилон-бесконечно малая величина, равенство не выполняется. Таким образом, мы доказали, что если $|b|\leq 1$, то

уравнение $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}=0$, к которому мы свели исходное, не имеет решений.