Question

Нужно решить пример за ф.Муавра.
Вот сам пример: (1-i)^13

Answer 1

$\displaystyle z^{13}=(1-i)^{13}$

Запишем число z=1-i в показательной форме:

$\displaystyle |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Поскольку число z находится в IV четверти, то

$\displaystyle tg(g)=\frac{b}{a}=\frac{-1}{1}=-1\\\\ g=\frac{7\pi}{4}$

Таким образом, мы можем записать число z=1-i в показательной форме

$\displaystyle z=\sqrt{2}e^{i*\frac{7\pi }{4}}$

Теперь, используя формулу Муавра можно найти z¹³

$\displaystyle z^{13}=(\sqrt{2}*e^{i\frac{7\pi }{4}})^{13}=(\sqrt{2})^{13}*e^{i*\frac{91\pi }{4}}=64\sqrt{2}*e^{i*\frac{3\pi }{4}}=\\\\=64\sqrt{2}(cos\frac{3\pi }{4}+i*sin\frac{3\pi}{4})=64\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i*\frac{\sqrt{2}}{2})=-64+64i=64(-1+i)$