Question

Найдите корень уравнения.

Answer 1

$\displaystyle log_2(x+2)-log_{0.5}(x+6)=1+log_2(x^2+12)\\\\ODZ: x+2>0; x+6>0; x^2+12>0\\\\x>-2\\\\log_2(x+2)-log_{2^{-1}}(x+6)-log_2(x^2+12)=1\\\\log_2(x+2)+log_2(x+6)-log_2(x^2+12)=1\\\\log_2\frac{(x+2)(x+6)}{x^2+12}=1\\\\\frac{x^2+8x+12}{x^2+12}=2\\\\\frac{-x^2+8x-12}{x^2+12}=0\\\\x^2-8x+12=0\\\\D=64-48=16\\\\x_{1.2}=\frac{8 \pm 4}{2}\\\\x_1=6; x_2=2$

Оба корня подходят по ОДЗ

теперь проверим промежутки

$\displaystyle log_28<log_231<log_232\\\\3<log_231<4\\\\\\\sqrt{36}<\sqrt{37}<\sqrt{49}\\\\6<\sqrt{37}<7$

тогда

$\displaystyle 2<log_231<6<\sqrt{37}$

ответ в промежутке х=6