Question

Площадь прямоугольного треугольника равна (32√3)/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Answer 1

Ответ:

8 ед.

Объяснение:

Пусть катет а, лежащий против угла в 30°, равен х.

• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. 

=> гипотеза с=2х.

Катет b по теореме Пифагора равен:

$b = \sqrt{ {c }^{2} - {a}^{2} } = \sqrt{ {2x}^{2} - {x}^{2} } = \sqrt{3 {x}^{2} } = x \sqrt{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times x \times x \sqrt{3} = \frac{ {x}^{2} \sqrt{3} }{2} \\ \\ \frac{ {x}^{2} \sqrt{3} }{2} = \frac{32 \sqrt{3} }{3} \\ \\ 3 {x}^{2} \sqrt{3} = 64 \sqrt{3} \\ \\ {x}^{2} = \frac{64}{3} \\ \\ x = \frac{8 \sqrt{3} }{3}$

Катет а, противолежащий углу в 30°, равен

$\frac{8 \sqrt{3} }{3}$

Тогда катет b:

$b = x \sqrt{3} = \frac{8 \sqrt{3} }{3} \times \sqrt{3} = 8$