Question

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме АВСDA1B1C1D1 на бо­ко­вых реб­рах АА1 и DD1 взяты со­от­вет­ствен­но точки К и М так, что АК : А1К = 2 : 3, DM : D1M = 4 : 1.


а) До­ка­жи­те, что плос­кость ВМК па­рал­лель­на пря­мой АС.


б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти ВМК, если АВ = 8, АА1 = 10.

С Объяснениями!!! И из ничего не говорить, что прямые параллельны или что-то того-/-.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) (BMK) ∩ (ADD1) = KM,

(BCC1) || (ADD1), следовательно,

(BMK) ∩ (BCC1) = BT || KM. Проведём AM1 || KM.

DM = 4/5 DD1, MM1 = AK = 2/5 DD1, тогда DM1 = 2/5 DD1 = AK.

BT || KM || AM1, т.е. BT || AM1;

∠M1AD = ∠TBC - острые углы с соответственно параллельными сторонами, AD = BC и ΔADM1 = ΔBCT по катету и острому углу.

Тогда CT = DM1= AK.

AKTC прямоугольник и КТ || AC

KT ⊂ (BMK) следовательно AC || (BMK)

б) (BMK) ∩ (ABC) = QB

DM1 = M1M = 4, AM1 || QM

По т. Фалеса AQ = AD = 8 и ΔQAB - прямоугольный равнобедренный.

Пусть H - середина QB, тогда по свойству равнобедренного треугольника AH ⊥ QB.

Имеем: QB ⊥ AH, QB ⊥ AK, следовательно QB ⊥ (KAH).

В ΔKAH проведём AP ⊥ KH.

Тогда AP ⊥ KH, AP ⊥ QB,

т.е. AP ⊥ (BMK) и AP = AK * AH/KH, искомое расстояние

AH = ½ QB = 4√‎2.

KH = √‎AK² + AH² = √16 + 32 = 4√3

AP = 4 * 4√2/4√3 = 4√6/3

Ответ: 4√6/3