Question

Решить в целых числах с очень подробным объяснением...

Answer 1

Объяснение:

Рассмотрим числа x y z:

1) Если все положительные x y z, то и результат будет положительный.

2) Если одно из значений отрицательно, то каждая дробь будет отрицательной и ответ будет отрицательный:

К примеру возьмём x=10, y=10, z=-10

3)Если два отрицательных, то ответ будет положительным (аналогично 2 примеру)

4)и наконец 3 отрицательных, все дроби отрицательные⇒ответ отрицательный.

Т.к. наше выражение =3>0, то нас устраивают случаи 1) и 3).

$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3$

Преобразуем равенство, умножив на 2xyz(x,y,z≠0):

$2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2=6xyz$

5) Отсюда видно что если числа x, y, z являются решением, то, изменив знак у любых двух чисел из этой тройки, мы снова получим решение уравнения. Поэтому достаточно рассмотреть положительные решения, а оставшиеся получить путем чередования двух минусов.

Рассмотрим левую часть уравнения:

$2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2=x^2y^2+x^2y^2+y^2z^2+y^2z^2+z^2x^2+z^2x^2=\\=(x^2y^2+z^2x^2)+(x^2y^2+y^2z^2)+(y^2z^2+z^2x^2)=\\=x^2(y^2+z^2)+y^2(x^2+z^2)+z^2(y^2+x^2)$

Помним, что квадрат числа неотрицательное число, поэтому:

$(x-y)^2\geq0\\x^2-2xy+y^2\geq0\\x^2+y^2\geq2xy$

Значит наше выражение:

$x^2(y^2+z^2)+y^2(x^2+z^2)+z^2(y^2+x^2)\geq x^2*(2yz)+y^2*(2xz)+z^2*(2xy)$

Вспомним что изначальное выражение равнялось 6xyz:

$2yzx^2+2xzy^2+2xyz^2=2xyz(x+y+z)\leq6xyz\\x+y+z\leq3$

Т.к. x,y,z положительные, то в натуральных числах есть одно решение: (1,1,1).

Учитывая 5 пункт получаем 4 решения:

(1,1,1), (-1;-1;1), (-1;1;-1), (1;-1;-1)