Question

Задача Коши! Найти частные решения, удовлетворяющие указанным начальным условиям. :)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y'+2xy'+2y=1

Представим в виде:

2xy'+2y+y' = 1  - это неоднородное уравнение.

Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.

2·u·v+u·v'+u'·v+2·x·(u·v'+u'·v) = 1

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

1. u(2·v+2·v'·x+v') = 0

2. 2·u'·v·x+u'·v = 1

1. Приравниваем u=0, находим решение для:

2·v+2·v'·x+v' = 0

Представим в виде:

v' = -2·v/(2·x+1)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = -ln(2·x+1)

v = 1/(2·x+1)

2. Зная v, Находим u из условия: 2*u'*v*x+u'*v = 1

2·u'·x/(2·x+1)+u'/(2·x+1) = 1

u' = 1

Из условия y=u*v, получаем:

y = u·v = (C+x)/(2·x+1)