Question

Равносильные преобразования неравенств 
$sqrt[3]{x^3-3x^2+2x+8}< 1+x$

Answer 1

Возведем в куб
х³-3х²+2х+8<1+3x+3x²+x³
х³-3х²+2х+8-1-3x-3x²-x³<0
-6x²-x+7<0
6x²+x-7>0
D=1+168=169 √D=13
x1=(-1-13)/12=-14/12=-7/6
x2=(-1+13)/12=12/12=1
         +              _            +
-----------------------------------------------------
               -7/6           1
x∈(-≈;-7/6)U(1;≈)

Answer 2

Возведем обе части неравенства в куб:
$x^{3}-3 x^{2}+2x+8<1+3x+3 x^{2} + x^{3}$
Перенесем все в левую част неравенства и приведем подобные:
$x^{3}-3 x^{2}+2x+8-1-3x-3 x^{2}-x^{3}<0$
$-6x^{2}-x+7<0$
Разделим обе части неравенства на (-1), при этом знак неравенства изменим на противоположный:
$6x^{2}+x-7>0$
Разложим многочлен $6x^{2}+x-7$ на множители:
$6x^{2}+x-7=6x^{2}+7x-6x-7=6x(x-1)+7(x-1)=$$(x-1)(6x+7)= 6(x-1)(x+1 frac{1}{6})$
$6(x-1)(x+1 frac{1}{6})>0$
Разделим обе части неравенства на 6:
$(x-1)(x+1 frac{1}{6})>0$
Решим методом интервалов, получим, что неравенство верно при х € (- бесконечность; $-1 frac{1}{6}$)U(1; +бесконечность)