Question

В походе участвуют 6 мальчиков и 9 девочек. Сколькими различными способами учитель может выбрать команду из 4 человек для ночного дежурства, если в команде должно быть хотя бы два мальчика?

Решай последовательно:
1. двух мальчиков и двух девочек можно выбрать 540

способами.
2. трёх мальчиков и одну девочку можно выбрать 180

способами.
3. четырёх мальчиков можно выбрать 15

способами.

Всего для дежурства можно выбрать 735

команд.
РЕШЕНИЕ
Составляется схема:

мальчики

девочки
вместе

6

9
выборки
2 мальчика

и

2 девочки
или
3 мальчика

и

1 девочка
или
4 мальчика

и

0 девочек

Порядок учеников неважен, поэтому требуемые выборки — это сочетания: =!!⋅(−)!.

1. Сколькими способами можно выбрать 2 мальчиков и 2 девочек?

2 мальчиков: 26=6!2!⋅(6−2)!=6!2⋅1⋅4!=6⋅5⋅4!2⋅4!=6⋅5⋅4!
2⋅4!
=6⋅52=15 (способ(-ов)).

2 девочек: 29=9!2!⋅(9−2)!=9⋅8⋅7!2⋅1⋅7!=9·82=36 (способ(-ов)).

Выборка: 2мальч.2 девоч.выбор1536 15·36 = 540 (способов).


2. Сколькими способами можно выбрать 3 мальчиков и 1 девочку?

3 мальчиков 36=6!3!⋅(6−3)!=6!3⋅2⋅1⋅3!=6⋅5⋅4⋅3!6⋅3!=6⋅5⋅4⋅3!
6⋅3!
=6⋅5⋅46=20 (способ(-ов, -а)).

1 девочку можно выбрать 9 способами.

Выборка: 3мальч.1 девочкавыбор209 20·9 = 180 (способ(-ов, -а)).


3. Сколькими способами можно выбрать 4 мальчиков?

46=6!4!⋅(6−4)!=6!4⋅3⋅2⋅1⋅2!=6⋅5⋅4⋅3⋅2!24⋅2!=6⋅5⋅4⋅324=15 (способов).


4. Сколько всего выборок?

Используется закон сложения, т. к. одновременно выбирается только 1 команда.
540+180+15 = 735 (способ(-ов, -а)).

Для дежурства можно выбрать 735 различн(-ых, -ые, -ую) команд(-ы, -у).

Answer 1

Ответ:

1)

С₆² = 6!/(2!*4!) = 6*5/2  = 15 сп. ----- для выбора 2 мальчиков из 6

С₇² = 7!/(2!*(7-2)! ) = 7*6*5!/ (2*5!) = 7*3 = 21 сп.---- для выбора 2 девочек из 7

  Так как выбор данной команды осуществляется двумя последовательными действиями выбора девочек и мальчиков, то:

С₆²  *С₇² = 15 * 21 = 315 способа  ----- выбрать 2 мальчиков и 2 девочек

2)

С₆³ = 6!/(3!*(6-3)!) = 6*5*4*3!/2*3*3! = 20 сп. ---- выбрать 3 мальчиков из 6

С₇¹ = 7 сп. ---- выбрать 1 девочку из 7

С₆³ * С₇¹ = 20 * 7 = 140 способов ---- выбрать 3 мальчика и 1 девочку

3)

С₆⁴ = 6!/(4!*(6-4)!) = 6*5*4!/4!*2! = 15 способов выбрать 4 мальчиков из 6

4) Так как осуществляется один из вариантов гендерного состава команды (2 и 2, или 3 и 1, или 4), то все способы, которыми могут осуществляться эти варианты, складываются:

315 + 140 + 15 = 470 способов  ------  выбрать команду из 4 человек , в которую входит хотя бы 2 мальчика.

Ответ: 470 способа

Объяснение: