Question

1) Даны векторы а (-2; -2; 1), b (0; -4; 3)
Найдите вектор с если с = 4а + 1/3b
Найдите косинус угла между векторами a и b

2) А (2; 0; -1), В (3; 4; -1), С (1; 0; 3). Определите вид треугольника ABC

Answer 1

Ответ:

c = (-8, -9(1/3), 5)

$cos(\alpha) = \frac{11}{15}$

Треугольник равнобедренный

Объяснение:

1)

c = 4a + 1/3b = 4(-2, -2, 1) + 1/3*(0, -4, 3) = (-8, -8, 4) + (0 -4/3, 1) = (-8, -28/3, 5)  = (-8, -9(1/3), 5)

Найдём скалярное произведение векторов a и b путём перемножения их координат относительно оси

ab = (-2) * 0 + (-2) * (-4) + 1 * 3 = 0 + 8 + 3 = 11

теперь найдём длины векторов используя формулу:

$|v| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ |a| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\\|b| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$

теперь найдём косинус угла между векторами

$cos(\alpha) = \frac{ab}{|a||b|} = \frac{11}{3 * 5} = \frac{11}{15}$

2)

Найдём длины отрезков через расстояния между точкам:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Если расстояния равны, то треугольник равносторонний, если 2 расстояния равны, то равнобедренный, если же расстояния не равны, но выполняется теорема пифагора, то треугольник прямоугольный.

$|AB| = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (-1 (-1))^2} = \sqrt{17}\\|BC| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (0 - 4)^2 + (3 -(-1))^2} = \sqrt{36} = 6\\|CA| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (-1 -3)^2} = \sqrt{17}$

Как видно: длины AB и CA совпадают, следовательно, треугольник равнобедренный