Question

990.
Решите неравенства и изобразите множество их решений на коор-
динатной прямой:
1)|х-7|>0
2)|х-4|>3
3)|2+х|<3
Помогите пожалуйста!!​

Answer 1

Чтобы решить неравенство вида $|f(x)| < g(x)$, нужно решить такую  систему:

$\begin{cases} f(x) < g(x)\\ f(x) > -g(x)\end{cases}$

Чтобы решить неравенство вида $|f(x)| > g(x)$, нужно решить такую совокупность:

$\left[ \begin{gathered} f(x) > g(x) \\ f(x) < -g(x) \\ \end{gathered} \right.$

Отличие заключается в том, что решением системы будет пересечение решений каждого неравенства в ней, а решением совокупности будет объединение решений каждого неравенства в ней.

Это значит, что в ответ системы мы записываем общие решения данных неравенств, а в ответ совокупности записываем вообще все решения.

________________

1.

|х-7| > 0

Составим и решим совокупность неравенств.

При переносе слагаемых в другую сторону нужно менять их знак.

$\left[ \begin{gathered} x-7 > 0 \\ x-7 < 0 \\ \end{gathered} \right.$  

$\left[ \begin{gathered} x > 7 \\ x < 7 \\ \end{gathered} \right.$

Ответом будет объединение этих решений.

Ответ: x ∈ (-∞; 7) ∪ (7; +∞).

2.

|х-4|>3

Составим и решим совокупность неравенств:

$\left[ \begin{gathered} x-4 > 3 \\ x-4 < -3 \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} x > 3+4 \\ x < -3+4 \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} x > 7 \\ x < 1 \\ \end{gathered} \right.$

Ответом будет объединение этих решений.

Ответ: x ∈ (-∞; 1) ∪ (7; +∞).

3.

|2+х| < 3

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2+x < 3\\ 2+x > -3\end{cases}$

$\begin{cases} x < 3-2\\ x > -3-2\end{cases}$

$\begin{cases} x < 1\\ x > -5\end{cases}$

Найдем пересечение решений (см. рис. во вложении).

Ответ: x ∈ (-5; 1).