Question

Две стороны треугольника равны 7см и √75, а угол, противолежащий большей из них, равен 60 градусов. Найдите третью сторону и другие углы этого треугольника.

Answer 1

Ответ:

Третья сторона треугольника  $\displaystyle \frac{7+3\sqrt{17} }{2} \approx 9,68$  см.

Остальные два угла 44° и 76°.

Объяснение:

Пусть длина неизвестной стороны треугольника ABC равна x (AC = x).

Применим теорему косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB \cdot AC \cdot cos \angle A;$

$\displaystyle (\sqrt{75})^{2}=7^{2}+x^{2}-2 \cdot 7 \cdot x \cdot cos \angle 60^{o};\\\\\displaystyle 75=49+x^{2}-14x \cdot \frac{1}{2};\\\\\displaystyle 75=49+x^{2}-7x;\\\displaystyle x^{2}-7x+49-75=0;\\\displaystyle x^{2}-7x-26=0;$

Решим квадратное уравнение.

$\displaystyle D =b^{2}-4ac= 49 - 4 \cdot (-26) = 49+104 = 153 = 9 \cdot 17;\\\\\displaystyle x_{1,2} =\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} \\\\\displaystyle x_{1} =\frac{7-\sqrt{9 \cdot 17} }{2}= \frac{7-3\sqrt{17} }{2} <0,$

x₁ меньше нуля, не может быть стороной треугольника;

$\displaystyle x_{2} =\frac{7+\sqrt{9 \cdot 17} }{2}= \frac{7+3\sqrt{17} }{2}. \\\\\displaystyle AC = \frac{7+3\sqrt{17} }{2}\;\;(cm).$

Найдем углы треугольника по теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\displaystyle \frac{AB}{sin \angle C}=\frac{BC}{sin \angle A};\\\\\displaystyle \frac{7}{sin \angle C}=\frac{\sqrt{75}}{sin \angle 60^{o}};$

Учитывая  $\displaystyle \sqrt{75}=\sqrt{3 \cdot 25}=5\sqrt{3}; \;\;\;\;sin \angle 60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2},$  получим:

$\displaystyle sin \angle C = \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 5\sqrt{3}} = 0,7;\\\\\\\displaystyle \frac{AC}{sin \angle B}=\frac{BC}{sin \angle A};\\\\\displaystyle sin \angle B = \frac{AC \cdot sin \angle A }{BC}=\frac{7+3\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{5\sqrt{3}}=\frac{7+3\sqrt{17}}{20}.$

С помощью таблиц Брадиса оценим углы B и C и сделаем проверку по сумме углов треугольника.

$\displaystyle sin \angle C = 0,7 \Rightarrow \angle C \approx 44^{o}.\\\\\displaystyle sin \angle B = \frac{7+3\sqrt{17}}{20} \approx \frac{7+3 \cdot 4,1}{20}\approx 0,97\\\\\displaystyle \Rightarrow \angle B \approx 76^{o}.$

60° + 44° + 76° = 180°.  Верно.