Question

Докажите,что для всех натуральных n справедлива формула 1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n(n+1)=n/n+1

Answer 1

$frac{1}{1*2}+frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}...frac{1}{n(n+1)}=\ frac{1}{2}+frac{1}{6}+frac{1}{12}+frac{1}{20}+frac{1}{30}+frac{1}{42}...=$
обозначим $n=1$
Тогда сумма 
$frac{n}{n(n+1)}+frac{n}{(n+1)(n+2)}+frac{n}{(n+2)(n+3)}+frac{n}{(n+3)(n+4)}....$ 
просуммируем по частям 
$S_{1}=frac{n}{n(n+1)}+frac{n}{(n+1)(n+2)}=frac{2}{n+2}\ S_{2}=frac{2}{n+2} + frac{n}{(n+2)(n+3)} = frac{3}{n+3}..$
можно заметить сумма ряда представится в виде  $frac{n}{n(n+1)}$