Question

Высота конуса равна 4, он вписан в шар,радиус которого равен 5. Найдите объём конуса

Answer 1

Ответ:

$V=\dfrac{8\sqrt{6}\pi}{3}$

Объяснение:

Изобразим осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник АВС.

Сечение шара - большой круг, описанный около этого треугольника.

Центр шара - точка О - лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

ВН = 4 - высота конуса

ВО = 5 - радиус описанного шара.

Рассмотрим треугольники ВСН и ВОК:

∠ВНС = ∠ВКО = 90°,

∠В - общий, значит

ΔВСН ~ ΔВОК по двум углам.

Из подобия треугольников следует:

$\dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BC}{BO}$

Учитывая, что BC = 2BK, получаем:

$\dfrac{4}{BK}=\dfrac{2BK}{5}$

$2BK\cdot BK=20$

$BK^2=10$

$BK=\sqrt{10}$  ⇒   $BC=2\sqrt{10}$

Из прямоугольного треугольника ВНС по теореме Пифагора:

$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{40-16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ - радиус основания конуса.

Объем конуса:

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h$

где R = CH = 2√6

h = ВН = 4

$V=\dfrac{1}{3}\pi \cdot 2\sqrt{6}\cdot 4=\dfrac{8\sqrt{6}\pi}{3}$