Question

Помогите пожалуйста очень срочно

Answer 1

4.

а)

$\begin{equation*}\begin{cases}x^2 - 2y = -3\\2x = -y\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x^2 -2y = -3\\y = -2x\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x^2 - 2\cdot (-2x) = -3\\y = -2x\end{cases}\end{equation*}$

Решим верхнее уравнение системы отдельно.

$x^2 - 2\cdot (-2x) = -3\\\\x^2 + 4x = -3\\\\x^2 + 4x + 3 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_1x_2 = 3\\x_1 + x_2 = -4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = -3; x = -1$

Система имеет две пары решений:

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}x = -3\\y = -2x\end{cases}\\\begin{equation*}\begin{cases}x = -1\\y = -2x\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}x = -3\\y = 6\end{cases}\\\begin{equation*}\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}$

Ответ:  $(-3,\ 6);\ (-1,\ 2)$.

б)

$\begin{equation*}\begin{cases}x^2 + 3xy + y^2 = 3 + x + 2y\\x + y = 3\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x^2 + 3xy + y^2 - 3 -x - 2y = 0\\y = 3 - x\end{cases}\end{equation*}\ \Leftrightarrow\\\\\\\\\Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x^2 + 3x(3-x) + (3-x)^2 - 3 - x - 2(3-x) = 0\\y = 3 - x\end{cases}\end{equation*}$

Решим верхнее уравнение системы отдельно.

$x^2 + 3x(3-x) + (3-x)^2 - 3 - x - 2(3-x) = 0\\\\\underline{x^2} + \underline{\underline{9x}} - \underline{3x^2} + \underline{\underline{\underline{9}}}- \underline{\underline{6x}} + \underline{x^2} - \underline{\underline{\underline{3}}} - \underline{\underline{x}} - \underline{\underline{\underline{6}}} + \underline{\underline{2x}} = 0\\\\-x^2 + 4x = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot(-1)\\\\x^2 - 4x = 0\\\\x(x - 4) = 0$

$\left[\begin{gathered}x = 0\\x -4 = 0\\\end{gathered}\ \ \ \Rightarrow\ \left[\begin{gathered}x = 0\\x = 4\\\end{gathered}$

Система имеет две пары решений:

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}x = 0\\y = 3 - x\end{cases}\\\begin{equation*}\begin{cases}x = 4\\y = 3 - x\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}x = 0\\y = 3\end{cases}\\\begin{equation*}\begin{cases}x = 4\\y = -1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}$

Ответ: $(0,\ 3);\ (4,\ -1)$.

5.

Представим функцию, задающую прямую, в более привычном для нас виде:  $x - y = 4$ превратим в  $y = x - 4$ .

Имеем:  $y = x - 4$  и  $y = x^2 - 5x + 5$ . Приравняв функции, найдём абсциссу точки пересечения. Таких точек может быть и несколько.

$x - 4 = x^2 - 5x + 5\\\\x^2 - \underline{5x} + \underline{\underline{5}} - \underline{x} + \underline{\underline{4}} = 0\\\\x^2 - 6x + 9 = 0\\\\(x-3)^2 = 0\\\\x - 3 = 0\\\\\bf{x = 3}$

Теперь подставляем найденное значение в любую из функций, чтобы найти ординату точки пересечения их графиков. В нашем случае, конечно, в первую подставить намного удобнее.

$y = x - 4\\\\y(3) = 3 - 4 = \bf{-1}$

Итак, координаты точки пересечения графиков данных функций:  $\boxed{\bf{(3;\ -1)}}$ .