Question

Помогите с неопределенностью.

Answer 1

$lim_{xto 0} frac{e^{3x}-1}{arctan x}= lim_{xto 0}(3x frac{e^{3x}-1}{3xarctan x})=$
По свойству пределов

$lim_{a to 0} frac{e^a-1}{a} =1$
получается
$=lim_{xto 0}frac{e^{3x}-1}{3x}frac{3x}{arctan x}=lim_{xto 0}frac{e^{3x}-1}{3x}*lim_{xto 0}frac{3x}{arctan x}=$
Есть такой предел

$lim_{a to 0} frac{arctan a}{a} =1$  Он получается при разложении арктангенса около нуля в ряд Маклорена (попытайтесь сами)
$=1*lim_{xto 0}frac{3x}{arctan x}=3lim_{xto 0}frac{x}{arctan x}=3*1=3$