Question

Даны прямая m и не принадлежащая этой прямой точка A . На перпен-
дикуляре AH к прямой m фиксируется точка B , отличная от точек A и
H . Рассматриваются пары точек C и D на прямой m, которые находятся
на равном расстоянии от точки H . Найдите множество всех точек M пере-
сечения прямых AD и BC .
Спаммеры получат минус баллы и страйк

Answer 1

Перенесем все на координатную плоскость. Пусть точка Н = (0,0), точка А лежит на оси Оу. На скрине А(0,7), В(0,4), а рассматривать мы будем любые А(0, а) и В(0,b).

Получается, одна прямая проходит точку А и точку (-k, 0) а другая - B и (k,0), при чем мы рассматриваем всевозможные k. Здесь k - расстояние от точки Н до точки С и D.

Кстати говоря, условие, что точка В должна быть между А и Н необязательно, можно взять и точку А между В и Н, на решение это не влияет в силу симметриии, главное, что бы обе точки лежали на перпендикуляре (то есть на оси Оу).

Запишем уравнение прямых.

$\frac{x+k}{k} = \frac{y}{a} \ \ \ \ => \ \ \ \ y = \frac{a}{k} x+ a \\ \\ \frac{x-k}{-k} = \frac{y}{b} \ \ \ \ => \ \ \ \ y = -\frac{b}{k} x+ b$

Так как нас интересует пересечение - приравниваем:

$\frac{a}{k} x+ a = -\frac{b}{k} x+ b \\ \\ x (\frac{a+b}{k} ) = b-a \\ \\ x =k \frac{b-a}{a+b}$

Поскольку пересечение двух прямых точно лежит на каждой из них, нужно подставить полученный икс в уравнение любой из прямых, результат будет одинаков.

$y = \frac{a}{k} (k \frac{b-a}{a+b}) + a = \frac{ab-a^2}{a+b} +a = \frac{ab-a^2+a^2+ab}{a+b} = 2\frac{ab}{a+b}$

Получилось, что для любого k, то есть для любого расстояния между точкой H до С и D, мы находим зависимый от k икс, и независимый от k игрек. То есть как бы мы не раздвигали точки C и D, игрек будет всегда один и тот же, зависящий только от точек А и В, на которые мы "привязываем" прямые AD и BC.

Итого, ответ - прямая $y = 2\frac{ab}{a+b}$