Question

нужны полные решения!!!
пожалуйста помогите мне, очень срочно нужно!!!!!​

Answer 1

23.

$\tt 2\left(x+\sqrt{2}\right) = cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\right) + 2sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cdot sin(\pi-\alpha)$

Воспользуемся следующими формулами:

$\tt cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta\\\\sin\alpha \cdot sin\beta = \dfrac{1}{2}\left(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)\right)$

Получаем:

$\tt 2(x+\sqrt{2}) = cos\dfrac{\pi}{2}cos2\alpha + sin\dfrac{\pi}{2}sin2\alpha + 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha -(\pi-\alpha)\right)-cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha + \pi - \alpha\right)$

Воспользуемся табличными значениями синусов и косинусов:

$\tt cos\dfrac{\pi}{2} = 0\\\\\\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$

В правой части также перемножим $2$ и  $\dfrac{1}{2}$ , получим 1. Упростим выражения в скобках.

$\tt 2x+2\sqrt{2} = sin2\alpha + cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha - \pi+\alpha\right) - cos\dfrac{5\pi}{2}$

Найдём ещё одно значение косинуса:

$\tt cos\dfrac{5\pi}{2} = cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\right) = cos\dfrac{\pi}{2} = 0$

Получаем:

$\tt 2x+2\sqrt{2} = sin2\alpha + cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\alpha\right)$

Воспользуемся формулой косинуса суммы:

$\tt cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

Получается:

$\tt 2x+2\sqrt{2} = sin2\alpha + cos\dfrac{\pi}{2}cos2\alpha - sin\dfrac{\pi}{2}sin2\alpha$

Значениями данных тригонометрических функций мы уже пользовались выше.

$\tt 2x+2\sqrt{2} = sin2\alpha - sin2\alpha\\\\2x + 2\sqrt{2} = 0\\\\2x = -2\sqrt{2}\ \ \ \ \ \Big| :2\\\\\boxed{x = -\sqrt{2}}$

Ответ: C.

24.

$x^2 - 7x + 12 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_1x_2 = 12\\x_1 + x_2 = 7\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 3; x = 4$

Примем, что  $\tt tg\alpha = 3$ , а  $\tt tg\beta = 4$ . Запишем формулу тангенса суммы:

$\tt tg(\alpha + \beta) = \dfrac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$

Подставим наши значения:

$\tt tg(\alpha + \beta) = \dfrac{3 + 4}{1 - 3\cdot 4} = \dfrac{7}{1-12} = \dfrac{7}{-11} = \boxed{-\dfrac{7}{11}}$

Ответ:  $-\dfrac{7}{11}$ .