Ответы
Ответ:
В решении.
Объяснение:
1. Исследовать функцию у = х² - 4х - 5 и построить её график.
График квадратичной функции парабола, данная парабола со смещённым центром, ветви направлены вверх.
1) Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу:
Таблица:
х -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у 16 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 16
2) Для построения найти координаты вершины параболы:
х₀ = -b/2a = 4/2 = 2;
у₀ = 2² -4*2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.
Координаты вершины параболы: (2; -9).
2. Исследование функции:
1) Найти область определения функции.
Область определения - это проекция графика функции на ось Ох.
Обозначается как D(f) или D(у).
Область определения параболы - множество всех действительных чисел, потому что она проецируется на любую точку оси Ох.
Обычно запись: D(f) = х∈R, или D(f) = х∈(-∞; +∞).
2) Найти область значений функции.
Область значений - это проекция графика на ось Оу.
Обозначается как Е(f) или Е(y).
Область значений параболы определяется координатами вершины, конкретно у₀, значение у вершины параболы.
Если коэффициент перед х² отрицательный, ветви параболы направлены вниз, и область значений Е(f) будет у∈(-∞; у₀], то есть от вершины параболы вниз до - бесконечности.
А если коэффициент перед х² положительный, ветви параболы направлены вверх, область значений Е(f) будет у∈[y₀; +∞), то есть от вершины параболы вверх до + бесконечности.
Область значений - значения у, в каких пределах парабола существует.
У данной функции у₀ = -9, ветви параболы направлены вверх,
Е(y) = у∈[-9; +∞).
3) Найти нули функции.
Нули функции - точки пересечения любым графиком оси Ох, где у=0.
у = х² - 4х - 5
х² - 4х - 5 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 16 + 20 = 36 √D= 6
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(4-6)/2
х₁= -2/2
х₁= -1;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(4+6)/2
х₂=10/2
х₂=5.
Координаты нулей функции (-1; 0); (5; 0).
Можно нули функции определить по построенному графику, не решая квадратное уравнение.
4) Определить промежутки знакопостоянства (при каких значениях х
у >0 и у < 0).
Согласно графика, у > 0 (выше оси Ох) при х∈(-∞; -1)∪(5; +∞).
Согласно графика, у < 0 (ниже оси Ох) при х∈(-1; 5).
5) Определить промежутки возрастания и убывания функции:
(значения х, при которых функция возрастает и убывает):
у возрастает при х∈2; +∞); убывает при х∈(-∞; 2).
6) Определить у наибольшее, у наименьшее.
у наиб. не существует, у наим. = -9.
2. Дана функция: f(x) = -3х² - 5х -2.
а) найти f(2); f(-1);
Подставить в уравнение значение х и вычислить значение у:
а) f(2) = -3х² - 5х -2 х = 2
f(2) = -3 * 2² - 5*2 - 2 = -12 - 10 - 2 = -24
f(2) = -24;
б) f(-1) = -3х² - 5х -2 х = -1
f(-1) = -3 * (-1)² - 5*(-1) - 2 = -3 + 5 - 2 = 0
f(-1) = 0.
b) (x; 0) x=?
Подставить в уравнение значение у и вычислить значение х:
у = -3х² - 5х -2
-3х² - 5х -2 = 0/-1
3х² + 5х + 2 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 25 - 24 = 1 √D=1
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-5-1)/6
х₁= -6/6
х₁= -1;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-5+1)/6
х₂= -4/6
х₂= -2/3.
у = 0 при х = -1; х = -2/3.
3. Задача.
х - собственная скорость лодки.
х + 2 - скорость лодки по течению.
2/(х + 2) - время лодки по течению.
1/х - время лодки по озеру.
По условию задачи уравнение:
2/(х + 2) + 1/х = 1
Умножить все части уравнения на х(х + 2), чтобы избавиться от дробного выражения:
2*х + 1*(х + 2) = 1*х(х + 2)
2х + х + 2 = х² + 2х
2х + х + 2 - х² - 2х = 0
-х² + х + 2 = 0/-1
х² - х - 2 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 1 + 8 = 9 √D= 3
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(1-3)/2
х₁= -2/2 = -1, отбрасываем, как отрицательный.
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(1 + 3)/2
х₂=4/2
х₂=2 (км/час) - собственная скорость лодки.
Проверка:
2/4 + 1/2 = 0,5 + 0,5 = 1 (час), верно.