Question

Докажите, что значение выражения 401³ + 199³ делится на 600​

Answer 1

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³


401 = (400 + 1)
199 = (200 - 1)

Значит,
401³ = (400+1)³
199³ = (199-1)³

401³ + 199³ = (400+1)³ + (199-1)³ =
= 400³ + 3•400²•1 + 3•400•1² + 1³ +
+ 200³ - 3•200²•1 + 3•200•1² - 1³ =
= 400³ + 3•400² + 3•400 +
+ 200³ - 3•200² + 3•200 =
= (2•200)³ + 3•(2•200)² + 3•2•200 +
+ 200³ - 3•200² + 3•200 =
= 8•200³ + 3•4•200² + 3•2•200 +
+ 200³ - 3•200² + 3•200 =
= 9•200 + 9•200² + 9•200 =
= 9•200•(200² + 200 + 1) =
= 1800 • (200² + 200 + 1)

Поскольку 1800 • (200² + 200 + 1)
кратно 600,
так как 1800:600 = 3, то и
401³ + 199³ делится на 600