Найти стороны и углы треугольника, если медиана BM, проведенная к стороне
AC=4, равна 2√3, а угол треугольника ∠A=60∘.
Ответы
Ответ:
АВ = ВС = АС = 4; ∠А = ∠В = ∠С =60°.
Объяснение:
По теореме синусов найдём ∠АВМ.
АМ : sin ∠АВМ = 2√3 : sin 60°
(4:2) : sin ∠АВМ = 2√3 : √3/2
sin ∠АВМ = 1/2,
следовательно, ∠АВМ = 30°.
В Δ АВМ ∠АМВ = 180 - 60 - 30 = 90 °; следовательно треугольник АВМ является прямоугольным, а катет АМ, лежащий против угла 30°, равен 1/2 АВ, откуда АВ = 2 · 2 = 4.
По теореме Пифагора находим ВС = 4
ВС = √(2² + (2√3)² = √16 = 4.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Ответ: АВ = ВС = АС = 4; ∠А = ∠В = ∠С =60°.
Рассмотрим треуг. АВМ, где АМ=2, ВМ=2√3, ∠A=60∘.
По т. синусов ВМ/sin60∘=AM/sin∠ABM
2√3: √3/2=2:sin∠ABM,
sin∠ABM=0,5, ∠ABM=30°.
Тогда ∠AМВ=90°.
ВМ перпендикулярно АС. Тогда медиана ВМ-высота,
треуг. АВС-равнобедренный, ∠A=
∠С=60°, а значит и ∠B=60°. Треуг. АВС равносторонний с равными углами А=В=С=60° и равными сторонами, АВ=ВС=АС=4 см.