Question

                                 Пожалуиста с рисунком

В гранях двугранного угла проведены прямые а и b, параллельные его ребру,

на расстоянии 10 см и 6см от него соответственно. Найти величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми a и b равно 14см.

3) Равносторонний треугольник АВС лежит в одной из граней двугранного угла, а сторона АВ принадлежит его ребру. Найти величину двугранного угла, если расстояние от вершины С треугольника до другой грани равно 2см, а сторона треугольника 8корней из 3 деленное а 3

5) Равносторонний треугольник АВЕ и квадрат АВСД лежат в гранях двугранного угла с ребром АВ. Найти величину двугранного угла если АВ=4корней из 2см, ЕД=4см

 

Answer 1

1) Получаем треугольник AOB (см.рис1), стороны которого нам известны (AO=10 см, BO = 6 см, AB = 14 см). Из этого треугольника по теореме косинусов:

$\AB^2=AO^2+BO^2-2cdot AOcdot BOcdotcoshat{AOB}Rightarrow\coshat{AOB}=frac{AO^2+BO^2-AB^2}{2cdot AOcdot BO}=frac{100+36-196}{2cdot10cdot6}=-frac{60}{120}=-frac12Rightarrow\AOB=frac{2pi}3=120^0$.

2) (см.рис2) Угол CDO - прямой, т.к. CD - расстояние от вершины С до грани угла (перпендикуляр). Значит, треугольник COD - прямоугольный, CO - гипотенуза. В то же время CO - высота равностороннего треугольника ABC. $\<var>CO=frac{sqrt3}2cdot a=frac{sqrt3}2cdotfrac{8sqrt3}3=4</var>$

Из треугольника COD по определению синуса, синус угла COD равен отношению противолежащего катета CD к гипотенузе CO sinO= 2/4 = 1/2. То есть $COD=frac{pi}6=30^0$

3) (см.рис3) В треугольнике EOF сторона EO - это высота равностороннего трегольника ABE $EO=frac{sqrt3}2cdot AE=frac{sqrt3}2cdot4sqrt2=2sqrt6$

Сторона OF равна стороне квадрата, DF равна половине стороны квадрата (OF - средняя линия ABCD), сторону EF найдём из прямоугольного треугольника EFD (EF перпендикуляр к CD => EFD - прямоугольный, ED - гипотенуза): $EF=sqrt{ED^2-DF^2}=sqrt{16-8}=2sqrt2$.

Тогда из треугольника EOF по тереме косинусов:

$\EF^2=OE^2+OF^2-2cdot OEcdot OFcdotcoshat{EOF}Rightarrow\coshat{EOF}=frac{OE^2+OF^2-EF^2}{2cdot OEcdot OF}=frac{24+32-8}{2cdot2sqrt6cdot4sqrt2}=frac{48}{16sqrt{12}}=frac{48}{32sqrt3}=frac{3}{2sqrt3}=frac{sqrt3}2\Rightarrow hat{EOF} = frac{pi}6=30^0$