Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка( уравнения с разделяющимися переменными,однородные и линейные).
(xy'-y)*arctg y/x=x

Answer 1

Ответ:

$(xy' - y)arctg \frac{y}{x} = x \: \: \: | \div x \\ (y' - \frac{y}{x} )arctg \frac{y}{x} = 1 \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ (u'x + u - u)arctg(u) = 1 \\ \frac{du}{dx} x \times arctg(u) = 1 \\ \int\limits \: arctg(u)du = \int\limits \frac{dx}{x}$

По частям интеграл:

$\int\limits \: arctgxdx \\ \\U = arctgx \: \: \: \: \: dU = \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ dV = dx \: \: \: V= x \\ \\ = x \times arctgx - \int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} + 1 } = \\ = x \times arctgx - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } = \\ = x \times arctgx - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } = \\ = xarctgx - \frac{1}{2} ln(1 + {x}^{2} ) + C$

Возвращаемся:

$\int\limits \: arctgudu = \int\limits \frac{dx}{x} \\ uarctgu - \frac{1}{2} ln(1 + {u}^{2} ) = ln(x) + C \\ \frac{y}{x} arctg \frac{y}{x} - \frac{1}{2} ln( \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 1) = ln(x) + C$

общее решение