Question

3sin2x+cos2x=2

  sin5х+cos 5х=$sin5x+cos5x=sqrt{2}cos13x$

 

 

Помогите,пожалуйста!!! 

Answer 1

Дано уравнение:   $sin5x+cos5x=sqrt{2}*cos13x$-----(1)

Будем решать уравнение методом вспомогательного угла.

Преобразуем левую часть уравнения (1):

  $sin5x+cos5x=1*sin5x+1*cos5x=sqrt{2}*(frac{1}{sqrt{2}}*sin5x+<var>frac{1}{sqrt{2}}*cos5x</var>)$, отсюда 

$sin5x+cos5x</var><var>=sqrt{2}*[sin(frac{pi}{4})*sin5x+<var>cos(frac{pi}{4})*cos5x</var>]$,

где в квадратных скобках стоит выражение, представляющее собой косинус разности углов  $5x$ и $frac{pi}{4}$. Но так как косинус функция четная мы получаем два возможных случая:

а)  $sin5x+cos5x</var><var>=sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})$-------(2)

б) $sin5x+cos5x</var><var>=sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)$--------(3)

Решаем каждый случай в отдельности.

а) Левые части равенств (1) и (2) равны, значит равны их правые части:

   $sqrt{2}*cos13x=<var>sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)</var>$, или сокращая на $sqrt{2}$

        $cos13x=<var>cos(frac{pi}{4}-5x)</var>$ 

  Отсюда по свойству косинуса имеем:

            $13x+<var>frac{pi}{4}-5x=2pi*k</var>$, или

         $x<var>=frac{<var><var>pi*k</var></var>}{4}</var></var>-<var><var>frac{pi}{32}</var>$, где $<var>k</var>$ - целое число

б) Левые части равенств (1) и (3) равны, значит равны их правые части:

     

$sqrt{2}*cos13x=<var>sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})</var>$, или сокращая на $sqrt{2}$

        $cos13x=<var>cos(5x-frac{pi}{4})</var>$ 

  Отсюда по свойству косинуса имеем:

      $13x+<var>5x-frac{pi}{4}=2pi*l</var>$, или

   

 $x=<var>frac{pi}{72}+frac{<var><var>pi*l</var></var>}{9}</var>$, где  $l$ - целое число

 

Ответ: $x<var>=frac{<var><var>pi*k</var></var>}{4}</var></var>-<var><var>frac{pi}{32}</var>$; $x=<var>frac{pi}{72}+frac{<var><var>pi*l</var></var>}{9}</var>$