Question

а) Решите уравнение sin^2(3x) -2sin(6x) +3cos^2(3x)=0
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-1;1]​

Answer 1

а)

$\sin {}^{2} (3x) - 2 \sin(6x) + 3 \cos {}^{2} (3x) = 0 \\ \sin {}^{2} (3x) - 2 \times 2 \sin(3x) \cos(3x) + 3 \cos {}^{2} (3x) = 0 \\ \sin {}^{2} (3x) - 4 \sin(3x) \cos(3x) + 3 \cos {}^{2} (3x) = 0$

Проверим, может ли $\cos(3x)$ равняться нулю. Для этого подставим 0 в уравнение вместо косинуса:

$\sin {}^{2} (3x) - 4 \sin(3x) \times 0 + 3 \times {0}^{2} = 0 \\ \sin {}^{2} (3x) = 0 \\ \sin(3x) = 0$

Получили, что при $\cos(3x)=0$, $\sin(3x)=0$, но не бывает такого угла, косинус и синус которого одновременно обнуляются, поэтому $\cos(3x)≠0$, следовательно мы можем разделить наше уравнение на косинус:

$\frac{ \sin {}^{2} (3x) }{ \cos {}^{2} (3x) } - 4 \frac{ \sin(3x) \cos(3x) }{ \cos {}^{2} (3x) } + 3 \frac{ \cos {}^{2} (3x) }{ \cos {}^{2} (3x) } = 0 \\ \tan {}^{2} (3x) - 4 \tan(x) + 3 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно такнегса. За теоремой Виета находим корни данного уравнения:

$\tan(3x) = 1 \\ \tan(3x) = 3 \\ 3x = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ 3x = \arctg(3) + \pi k \\ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} n \\ x = \frac{1}{3} \arctg(3) + \frac{\pi}{3} k, \: n,k \in \mathbb Z$

б) Необходимо отобрать корни уравнения на отрезке [-1;1]. Для этого воспользуемся двойным неравенством:

$- 1 \leqslant \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} n \leqslant 1 \\ - 1 - \frac{\pi}{12} \leqslant \frac{\pi}{3}n \leqslant 1 - \frac{\pi}{12} \\ - \frac{\pi + 12}{12} \leqslant \frac{\pi}{3} n \leqslant \frac{12 - \pi}{12} \\ - \frac{\pi + 12}{4} \leqslant \pi n \leqslant \frac{12 - \pi}{4} \\ - \frac{\pi + 12}{4\pi} \leqslant n \leqslant \frac{12 - \pi}{4\pi}$

Для аппроксимации возьмём π ≈ 3:

$- \frac{3 + 12}{4 \times 3} \leqslant n \leqslant \frac{12 - 3}{4 \times 3} \\ - \frac{5}{4} \leqslant n \leqslant \frac{3}{4} \\n \in[ - 1.25;0.75]$

Учитывая, что n – целое число, на промежутке [-1;1], оно может принимать значения: -1, 0. Тогда корни на данном промежутке: $x_{1}=\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{4},\\ x_{2}=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3} \times 0 = \frac{\pi}{12}$.

Отбираем второй корень по аналогии с первым:

$- 1 \leqslant \frac{1}{3} \arctg(3) + \frac{\pi}{3} k \leqslant 1$

Мы знаем что функция arctg(x) довольно быстро изменяется в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, поэтому для больших х $\arctg(x)≈\frac{\pi}{2}$. Тогда

$- 1 \leqslant \frac{1}{3} \times \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} k \leqslant 1 \\ - 1 \leqslant \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} k \leqslant 1$

Сразу аппроксимируем π ≈ 3:

$- 1 \leqslant \frac{3}{6} + \frac{1}{3}k \leqslant 1 \\ - 1 \leqslant \frac{1}{2} +\frac{1}{3} k \leqslant 1 \\ - 1.5 \leqslant \frac{1}{3}k \leqslant 0.5 \\ - 0.5 \leqslant k \leqslant \frac{1}{6} \\ - 1.5 \leqslant k \leqslant 0.5$

Для целых k в данный отрезок [-1;1] попадает только два значения k = -1 и k = 0. Тогда корни $x_{3} = \frac{1}{3} \arctg(3)+\pi \times 0 = \frac{1}{3} \arctg(3) \\ x_{4} = \frac{1}{3} \arctg(3)+\frac{\pi}{3}\times (-1) = \frac{1}{3} \arctg(3) - \frac{\pi}{3}$.

Ответ:

а) $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} n, \: x = \frac{1}{3} \arctg(3) + \frac{\pi}{3} k, \: n,k \in \mathbb Z$;

б) $-\frac{\pi}{4}, \: \frac{\pi}{12}, \: \frac{1}{3} \arctg(3), \: \frac{1}{3} \arctg(3) - \frac{\pi}{3}$.