Question

Kаковы должны быть размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 170,368π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Answer 1

Объём цилиндра $V = \pi R^2\cdot h$

Площадь полной поверхности цилиндра

$S = 2\pi R^2 + 2\pi R\cdot h$

Итак $V = \pi R^2 \cdot h = 170{,}368\pi$

$R^2 \cdot h = 170{,}368$

$h = \frac{170{,}368}{R^2}$

$S = 2\pi R^2 + 2\pi R\cdot\frac{170{,}368}{R^2} =$

$= 2\pi R^2 + 2\pi\cdot\frac{170{,}368}{R}$

Найдём экстремум функции

$S = 2\pi R^2 + 2\pi\cdot\frac{170{,}368}{R}$

$S' = 4\pi R - 2\pi\cdot\frac{170{,}368}{R^2} =$

$= 4\pi\cdot\frac{ R^3 - 85{,}184 }{R^2} =$

$= 4\pi\cdot\frac{ (R - 4{,}4)\cdot ( R^2 + 4{,}4\cdot R + (4{,}4)^2 )}{R^2}$

Очевидно, что R > 0.

Тогда минимум в точке R = 4,4. Тогда

$h = \frac{170{,}368}{(4{,}4)^2} = \frac{170{,}368}{19{,}36} = 8{,}8$