Question

найти общее решение дифференциального уравнения
​y'sinx=ylny

Answer 1

Ответ:

$y'\cdot sinx=y\cdot lny\\\\\\\dfrac{dy}{dx}\cdot sinx=y\cdot lny\\\\\\\int \dfrac{dy}{y\cdot lny}=\int \dfrac{dx}{sinx}\\\\\\\int \dfrac{d(lny)}{lny}=\int \dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}\ \ ,\ \ \Big[\ t=tg\frac{x}{2}\ ,\ sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}\ ,\ dx=\dfrac{2\, dt}{1+t^2}\ \Big]\\\\\\\int \dfrac{d(lny)}{lny}=\int \dfrac{dt}{t}\\\\\\ln|\, lny\, |=ln|\, t\, |+lnC\\\\\\ln|\, lny\,|=ln\Big|\, tg\dfrac{x}{2}\, \Big|+lnC\\\\\\\boxed{\ lny=C\cdot tg\dfrac{x}{2}\ }$