Question

Углубленная алгебра. Малая теорема Ферма, кратность. 50 баллов.
Доказать, что (4³⁶ - 1) ⋮ 323
Подсказка: 323 = 19 * 17

Answer 1

Ответ: в описании

Объяснение:

$323=19*17$;

$4^{36} -1=(4^{18} -1)(4^{18}+1)$;

По малой т. Ферма: $a^{p-1} -1$ делится на p, если р - простое число и a - целое число, не делящиеся на р. В нашем случае, р=19 (простое число) , а=4 (не делится на 19):

$4^{18} -1=4^{19-1} -1$, значит, $4^{18} -1$ делится на 19.

Осталось доказать, что $4^{18} +1$ делится на 17.

Замечаем, что $17=4^{2} +1$. Делим многочлен на многочлен:

$\frac{4^{18} +1}{4^{2}+1 } =4^{16}-4^{14}+4^{12}-4^{10}+4^{8}-4^{6}+4^{4}-4^{2}+1$

\\Делил уголком\\

Так как $4^{36} -1=(4^{18} -1)(4^{18}+1)$ делится на 19 и на 17, то оно делится

и на 323