Помогите пожалуйста дам 25 балов
Iз точок С і D, що лежать у різних гранях двогранного кута, величина якого дорівнює 45°, проведено до його ребра перпендикуляри DA i CВ. Знайдіть відрізок CD, якщо АВ - 3 см, AD - 6 коренів з 2 см, ВС - 8 см.
Ответы
Ответ:
CD = 7 см
Объяснение:
1) Проведём сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через точки В и С и перпендикулярной плоскости ABD. В секущей плоскости обозначим проекцию точки С на плоскость АВD как С₁. Лежащий в секущей плоскости треугольник ВС₁С является прямоугольным, т.к. СС₁ является перпендикуляром к плоскости DАВC₁.
2) В прямоугольном треугольнике ВС₁С сторона ВС = 8 см (согласно условию) является гипотенузой, а угол СВС₁ равен 45° (также согласно условию); это значит, что прямоугольный треугольник ВС₁С является равнобедренным и ВС₁ = СС₁ = (8√2) / 2 = 4√2 см (катет равен гипотенузе, умноженной на синус угла, противолежащего данному катету).
3) Четырёхугольник DАВC₁ является прямоугольной трапецией, т.к. AD⊥AB и СВ⊥АВ и ВС₁⊥АВ (как проекция СВ), следовательно АD║BC₁ , а углы А и В трапеции DАВC₁ - прямые.
В рассматриваемой трапеции DАВC₁ сторона АВ = 3 см - согласно условию; AD = 6√2 cм - согласно условию; ВС₁ = 4√2 см - согласно выполненному расчету. Таким образом, боковая сторона DC₁ трапеции DАВC₁ равна: √(3² + (6√2 - 4√2)² = √(9 + (2√2)² = √(9+8) = √17 см
4) Проведём сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через сторону DC₁ и перпендикулярную плоскости трапеции.
В сечении получим прямоугольный треугольник DC₁C, в котором: угол C₁ - прямой, катет С₁С = 4√2 см (согласно выполненному расчету), катет DC₁ = √17 см (согласно выполненному расчету). Отрезок СD, длину которого надо найти, является в данном прямоугольном треугольнике гипотенузой:
СD = √(С₁С² + DC₁²) = √((4√2)² + (√17)²) = √(32+17) = √49 = 7 см
Ответ: CD = 7 см