Question

tg a = -0,75 tg b= 2,4; pi / 2 < a < pi, 0 < b < pi / 2. Найти sin(a + 2b) - ?

Answer 1

Ответ:

$\sin( \alpha + 2 \beta ) = \\ = \sin( \alpha ) \cos(2 \beta ) + \cos( \alpha ) \sin( 2\beta ) \\ \\ \cos(2 \beta ) = \cos {}^{2} ( \beta ) - \sin {}^{2} ( \beta ) \\ \sin( 2\beta ) = 2\sin( \beta ) \cos( \beta )$

Угол а принадлежит 2 четверти, синус положительный, косинус отрицательный.

Угол в принадлежит 1 четверти, синус и косинус положительные.

$tg \alpha = - 0.75$

$1 + {tg}^{2} \alpha = \frac{1}{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } \\ \cos( \alpha ) = \pm \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2} \alpha } } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + {(0.75)}^{2} } } = \\ = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{9}{16} } } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5} \\ \sin( \alpha ) = \sqrt{1 - \cos {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = \sqrt{1 - \frac{16}{25} } = \frac{3}{5}$

$tg \beta = 2.4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \\ \\ \cos( \beta ) = \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{144}{25} } } = \sqrt{ \frac{25}{169} } = \frac{5}{13} \\ \sin( \beta ) = \sqrt{1 - \frac{25}{169} } = \sqrt{ \frac{144}{169} } = \frac{12}{13}$

$\sin( 2\beta ) = 2 \times \frac{5}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{120}{169} \\ \cos(2 \beta ) = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$

$\sin( \alpha + 2 \beta ) = \frac{3}{5} \times \frac{119}{169} + ( - \frac{4}{5} ) \times \frac{120}{169} = \\ = \frac{357 - 480}{845} = - \frac{123} { 845}$