Question

(20 БАЛЛОВ!!!) Решите систему (желательно используя метод замены)​

Answer 1

Ответ:

(1;2) (2;1)

Объяснение:

Мы видим так называемую симметрическую систему уравнений(при замене переменных друг на друг, система не изменится. Для такой системы есть стандартная замена xy=t, x+y=k

, тогда $\left \{ {{x^2+y^2=5} \atop {xy+x+y=5}} \right.$ перепишем как$\left \{ {{x^2+y^2=5} \atop {t+k=5} \right.$. Теперь нужно представить уравнение в первой строке системы через новые переменные, для этого попробуем выделить полный квадрат, x²+y² из этой суммы можно получить 2 вида квадрата, квадрат суммы и квадрат разности, нам выгодно сделать сумму, тогда добавим 2xy, но чтобы ничего не изменилось вычтем 2xy. Тогда (x²+2xy+y²)-2xy=5. Свернем (x+y)²-2xy=5. Теперь мы видим наши замены в чистом виде 1-ая строка = k²-2t=5.

$\left \{ {{k^2-2t=5} \atop {k+t=5}} \right.$. Теперь перейдем к следующему. из второго уравнения вычтем t из обеих частей, тогда k=5-t. и подставим это значение k  в первое.

$\left \{ {{((5-t)^2-2t=5} \atop {k=5-t}} \right.$ Расскроем скобки, t²-10t+25-2t-5=0

t²-12t+20=0. Получили квадратное уравнение, которое решаем любым удобным способом(для меня Т. обратная Т.Виета)

t=10 или t=2. удобнее записать так $t_{1}$=10 $t_{2}$=2, отсюда найдем $k_{1},k_{2}$

$k_{1}$=5-$t_{1}$=5-10=-5, $k_{2}$=5-$t_{2}$=5-2=3.

Теперь обратные замены в 2 системы

$\left \{ {{xy=10} \atop {x+y=-5}} \right.$. опять  замена), x=-5-y., -5y-y²=10,y²+5y+10=0, D=25-40,эта система решений не имеет( на множестве действительных чисел)

$\left \{ {{xy=2} \atop {x+y=3}} \right.$. Опять замена x=3-y. 3y-y²=2, y²-3y+2,тогда $y_{1}$=2,$y_{2}$=1. Тогда $x_{1}$=1,$x_{2}$=2. Что не удивительно, т.к. в симметрических системах достаточно получить ответ лишь для одной переменной и просто поменять местами с другой, но мы в этом, так сказать, убедились.

Ответ 2 пары чисел (1;2) (2;1)