Question

 Все плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 30 градусов. Определите двугранные углы при ее блоковых рёбрах. Ответ должен быть arccos (2 корень из 3-3)

Answer 1

Если угол при вершине боковых граней равен 30 градусов, то углы при основании их равны по 75 градусов.

Примем сторону основания за 1.

Тогда высота на боковое ребро h равна 1*cos(30°/2).

В этой задаче надо определить косинус половинного угла.

Для косинуса 15 градусов есть несколько вариантов.

Можно так: cos 15° = cos(60° - 45°).

Подставив данные, получим cos 15° = (√2 + √6)/4.

Можно так: cos 15° = √(1 + cos30°)/2 = √(1 + (√3/2))/2.

Подставив данные, получим cos 15° = (√(2 + √3))/2.

Можно и в таком варианте: cos 15° = (√3 + 1)/(2√2 ).

Угол между боковыми гранями равен плоскому углу между высотами к боковому ребру.

По формуле косинусов этот угол равен:

α = arc cos((h² - 1)/(2h²)).

Подставив данные, получаем α = 62,34790439 градусов.