Question

известно, что f(x)=ax^2+bx+c и уравнение f(x)=x не имеет корней. Может ли уравнение f(f(x))=x иметь корни?

Answer 1

Ответ:Функция f(x)-x всюду определена,непрерывна,и нигде не обращается в ноль. Отсюда либо f(x)<x для всех x,либо f(x)>x для всех x;

Предположим,что уравнение f(f(x))=x имеет корень.Обозначим y=f(x). Тогда x=f(y).Если имеет место первый случай из предыдущего абзаца, то y<x и x<y-противоречие.Если второй, то y>x и x>y-снова противоречие;  

Здесь вместо f(x)=ax^2+bx+c можно взять любую непрерывную функцию,заданную на всей прямой.