Question

1.Докажите, что если а+b=1, то а (в кубе) + b (в кубе) + 3ab= a+b
2.Однажды   Дядя   Фёдор , кот   Матроскин   и   Шарик  пошли на рыбалку.Улов оказался большим. Дядя   Фёдор  поймал половину от общего улова без того,что поймали вместе  кот   Матроскин   и   Шарик . Кот   Матроскин  поймал треть от общего улова  и  того, что поймали вместе  Дядя   Фёдор   и   Шарик .Улов  Шарика  отличается от улова  Матроскина  на 1 кг.Сколько весил общий улов?
3.Доказать, что число n (в кубе)+17n делится на 6 при любом натуральном n
4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD  и  ВЕ.Оказалось, что угол ADC = углу AEB=углу BAC. Найти углы трекгольника АВС.
5.Решить графически уравнение /x/ = x-3.
6.В каждой клетке доски размером 16х30 сидит по жуку. Могут ли жуки
перелететь на доску размером 15х32, в каждую клетку по одному жуку,
чтобы жуки, бывшие соседями на доске 16х30 , оказались соседями и на
новой доске? (Соседи - жуки, сидящие в клетках с общей стороной.)

Answer 1

Ну, с первым заданием. Я делал так:
а^3 + b^3+3ab=a+b. По формулам сокращенного умножения: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Подставим в наше уравнение, и получим:
(a+b)(a^2-ab+b^2)+3ab=a+b. Допустим, что равенство (а+b)=1 верно, тогда
1*(a^2-ab+b^2)+3ab=a+b. Раскроем скобки и получим:
a^2+2ab+b^2=a+b. Пользуясь формулами сокращенного умножения левую часть равенства представим в виде: (a+b)^2=a+b или (a+b)(a+b)=a+b. Разделив обе части равенства на (a+b) получим: a+b=1, т.е. утверждение верно.