Question

Решите пожалуйста, кто какую сможет

Answer 1

Ответ:

1.

1)

$\frac{ \cos {}^{2} ( 6\alpha ) - 1 }{1 - \sin {}^{2} ( 6\alpha ) } - tg(12 \alpha ) \times ctg(12 \alpha ) = \\ = \frac{ - \sin {}^{2} ( 6\alpha ) }{ \cos {}^{2} ( 6\alpha ) } - 1 = - {tg}^{2} (6 \alpha ) - 1 = \\ = - (1 + {tg}^{2} (6 \alpha )) = - \frac{1}{ \cos {}^{2} ( 6\alpha ) }$

2)

$\sin( 8\alpha ) \cos( 3\alpha ) - \cos(8 \alpha ) \sin( 3\alpha ) = \\ = \sin( 8\alpha - 3 \alpha ) = \sin( 5\alpha )$

3)

$\frac{4 \cos {}^{2} (7 \alpha ) }{ \sin( 14\alpha ) } = \frac{4 \cos {}^{2} ( 7\alpha ) }{ 2 \sin(7 \alpha ) \cos(7 \alpha ) } = \\ = \frac{4 \cos( 7\alpha ) }{ \sin( 7\alpha ) } = 4ctg(7 \alpha )$

4)

$\frac{ \sin(14 \alpha ) - \sin(10 \alpha ) }{ \cos( 3\alpha ) - \cos( 7\alpha ) } = \\ = \frac{2 \sin( \frac{14 \alpha - 10 \alpha }{2} ) \cos( \frac{14 \alpha + 10 \alpha }{2} ) }{ - 2 \sin( \frac{3 \alpha - 7 \alpha }{2} ) \sin( \frac{3 \alpha + 7 \alpha }{2} ) } = \\ = - \frac{ \sin(2 \alpha ) \cos(12 \alpha ) }{( - \sin( 2\alpha )) \sin( 5\alpha ) } = \frac{ \cos( 12\alpha ) }{ \sin(5 \alpha ) }$

5)

$\cos {}^{2} ( \frac{\pi}{2} - 3 \alpha ) - \cos {}^{2} (\pi + 3\alpha ) = \\ = \sin {}^{2} ( 3\alpha ) - \cos {}^{2} ( 3\alpha ) = - \cos( 6\alpha )$

6)

$2 \cos( 8\alpha ) \cos( 9\alpha ) - \cos( 17\alpha ) = \\ = 2 \cos( 8\alpha ) \cos( 9\alpha ) - \cos(8 \alpha + 9\alpha ) = \\ = 2 \cos( 8\alpha ) \cos( 9\alpha ) - \cos( 8\alpha ) \cos(9 \alpha ) + \sin( 8\alpha ) \sin( 9\alpha ) = \\ = \cos( 8\alpha ) \cos(9 \alpha ) + \sin( 8\alpha ) \sin( 9\alpha ) = \cos( 8\alpha - 9 \alpha ) = \cos( \alpha )$

2.

$tg \alpha = 5 \\ tg \beta = 1.5 \\ \\ \alpha = arctg(5 )\\ \beta = arctg(1.5) \\ \\ \alpha + \beta = arctg(5) + arctg(1.5)$

(Странное задание, скорее всего, нужно найти какую-нибудь тригонометрическую функцию с аргументом a+в, а не сумму углов)

3.

1)

$ctg2 \beta - ctg4 \beta = \frac{ \cos(2 \beta ) }{ \sin(2 \beta ) } - \frac{ \cos(4 \beta ) }{ \sin( 4\beta ) } = \\ = \frac{ \cos(2 \beta ) \sin(4 \beta ) - \cos( 4\beta ) \sin( 2\beta ) }{ \sin( 2\beta ) \sin(4 \beta ) } = \\ = \frac{ \sin(4 \beta - 2 \beta ) }{ \sin( 2\beta ) \sin( 4\beta ) } = \frac{ \sin(2 \beta ) }{ \sin( 2\beta ) \sin(4 \beta ) } = \frac{1}{ \sin(4 \beta ) }$

2)

$\frac{( \cos( \frac{\pi}{2} - 5 \alpha ) - \sin(\pi + 3\alpha ) )( \sin( \frac{\pi}{2} + 3 \alpha ) - \cos(\pi + 5\alpha ) )}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha ) } = \\ = \frac{( \sin(5 \alpha ) + \sin( 3\alpha ) )( \cos( 3\alpha ) + \cos( 5\alpha )) }{1 + \cos(2 \alpha ) } = \\ = \frac{ 2 \sin( \frac{5 \alpha + 3 \alpha }{2} ) \cos( \frac{5 \alpha - 3 \alpha }{2} ) \times 2 \cos( \frac{3 \alpha + 5 \alpha }{2} ) \cos( \frac{3 \alpha - 5 \alpha }{2} ) }{1 + \cos( 2\alpha ) } = \\ = \frac{4 \sin( 4\alpha ) \cos( \alpha ) \cos(4 \alpha ) \cos( \alpha ) }{ 1 + \cos(2 \alpha ) } = \\ = \frac{2 \cos {}^{2} ( \alpha ) \times \sin( 8\alpha ) }{1 + \cos {}^{2} ( \alpha ) - \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \frac{2 \cos {}^{2} ( \alpha ) \sin( 8\alpha ) }{ 2\cos {}^{2} ( \alpha ) } = \sin( 8\alpha )$