Question

Вычислите cosa tga sin2a cos a/2 если sina=1/3 pi/2
поставил 20 баллов

Answer 1

Ответ:

$cos\alpha =-\dfrac{2\sqrt{2} }{3} ; tg\alpha =-\dfrac{\sqrt{2} }{4} ; sin2\alpha =-\dfrac{4\sqrt{2} }{9} ;$ $cos\dfrac{\alpha }{2}= \sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2} }{6} }$

Объяснение:

$sin\alpha =\dfrac{1}{3} ,\\\dfrac{\pi }{2} <\alpha <\pi$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1;\\cos^{2} \alpha=1-sin^{2} \alpha;\\cos\alpha=\pm\sqrt{1-sin^{2} \alpha}$

Так как α - угол второй четверти, то косинус отрицательный.

Тогда

$cos\alpha =-\sqrt{1-sin^{2} \alpha} ;\\cos\alpha =-\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2} } =-\sqrt{1-\dfrac{1}{9} } =-\sqrt{\dfrac{9}{9} -\dfrac{1}{9} } =-\sqrt{\dfrac{8}{9} } =-\dfrac{\sqrt{8} }{3} =-\dfrac{2\sqrt{2} }{3} .$

$tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } ;\\\\tg\alpha =\dfrac{1}{3} :\left(-\dfrac{2\sqrt{2} }{3}\right )=-\dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{3}{2\sqrt{2} } =-\dfrac{1}{2\sqrt{2} } =-\dfrac{\sqrt{2} }{4} .$

$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha ;\\sin2\alpha =2\cdot\dfrac{1}{3} \cdot\left(-\dfrac{2\sqrt{2} }{3}\right )=-\dfrac{4\sqrt{2} }{9} .$

$cos^{2} \dfrac{\alpha }{2} =\dfrac{1+cos\alpha }{2} \\\\cos\dfrac{\alpha }{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+cos\alpha }{2}} \\cos\dfrac{\alpha }{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\left(-\dfrac{2\sqrt{2} }{3}\right) }{2} } =\pm\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{2\sqrt{2} }{3} }{2} } =\pm\sqrt{\dfrac{\dfrac{3-2\sqrt{2} }{3} }{2} } =\pm \sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2} }{6} }$

Так как$\dfrac{\pi }{2} <\alpha <\pi$ , то $\dfrac{\pi }{4} <\dfrac{\alpha }{2} <\dfrac{\pi }{2}$ и  косинус положительный, значит,

$cos\dfrac{\alpha }{2}= \sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2} }{6} }$